第二节 向量的数乘运算 ▍知识点1:数乘向量的定义 一般地,给定一个实数λ与任意一个向量,规定它们的乘积是一个向量,记作,其中: （1）当且时,的模为,而且的方向如下: ①当时,与的方向相同; ②当时,与的方向相反. （2）当或时,. 上述实数与向量相乘的运算简称为数乘向量. ▍知识点2:数乘向量的几何意义 数乘向量的几何意义是,把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小. ▍知识点3:数乘向量的运算律 设,为实数,那么 （1） （2） （3） 推广形式:对于任意向量,以及任意实数,, ,恒有 ▍知识点4:向量平行于三点共线 （1）如果存在实数,使得,则,即 （2）一般地,如果存在实数,使得,则与平行且有公共点,从而,,三点一定共线. ▍知识点5:向量的线性运算 向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算,统称为向量的线性运算. 拓展:单位向量:给定一个非零向量,与同方向且长度等于1的向量记作,则且. ［对应练习:基础1、基础2］ 数乘向量的概念 是实数,是向量,它们的积仍然是向量,的符号与的方向有关,的大小与的模有关. 【典例 1】（多选）下列各式中,表示向量的是（ ） A. B. C. D. 【典例 2】设是非零向量,λ是非零实数,下列结论中正确的是（ ） A.与的方向相反 B.与的方向相同 C. D. 【典例 3】已知向量,说出下列向量与的关系. （1）; （2）; （3）. 数乘向量的运算 向量的线性运算形式上类似于实数加减法与乘法满足的运算法则,实数运算中去括号、移项、合并同类项等变形方法在向量的线性运算中均可使用. 【典例 4】计算: （1）; （2）; （3）; 方程法求解向量 向量也可以通过列方程来解把所求向量当作未知数,利用代数方程的方法求解,同时在运算过程中要多注意观察,恰当运用运算律,简化运算. 【典例 5】把满足,的向量,用,表示出来. 【练习 6】把满足,的向量,用,表示出来. 【练习 7】把满足,的向量,用,表示出来. 【练习 8】把满足,的向量,用,表示出来. 重点题型专练 用已知向量表示其他向量 方法1:直接法 第一步:结合图形的特征,把待求向量放在三角形或者平行四边形中; 第二步:结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量的共线定理用已知量表示未知向量. 【典例 9】在中,,则（ ） A. B. C. D. 【变式 10】在平行四边形中,对角线与交于点,,则（ ） A. B. C. D. 【变式 11】在中,在射线上,且满足,则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【练习 12】在梯形ABCD中,且,已知,,则（ ） A. B. C. D. 【练习 13】在中,,, ,,则（ ） A. B. C. D. 【练习 14】如图,在四边形ABCD中,, ,设,,则等于（ ） A. B. C. D. 【练习 15】在中,,且,则（ ） A. B. C. D. 【练习 16】已知的重心为,则向量（ ） A. B. C. D. 【练习 17】在中,点是的中点,点是的中点,点在线段上并且,则（ ） A. B. C. D. 【练习 18】如图,平行四边形中,是的中点,和相交于点.记,,则（ ） A. B. C. D. 【练习 19】在平面四边形中,E,F分别为和的中点,那么（ ） A. B. C. D. 【练习 20】在中,点满足为重心,设,则可表示为（ ） A. B. C. D. 【练习 21】如图,平行四边形中,, ,,若,则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【练习 22】已知平行四边形中,, ,,则=（ ） A. B. C. D. 【练习 23】是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形,若,,且,则（ ） A. B. C. D. 方法2:方程法 当用直接法表示比较困难时,可以先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系,然后解关于所求向量的方程. 【典例 24】已知分别为的边上的中线,设,,试用与表示. 【变式 25】如图,已知平行四边形ABCD的边BC, CD的中点分别是E,F,且,,试用,表示. 【练习 26】在中,为的中点,为边上靠近点的三等分点,记,用表示为（ ） A. B. C. D. 【练习 27】在中,点为边中点,点在线段上,且,若 ... ...
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