(
课件网) 5.3 等比数列 5.3.2 等比数列的前项和 第2课时 等比数列的前 项和的性质及其应用 探究点一 等比数列前项和的性质及应用 探究点二 等比数列奇数项与偶数项和的关系 探究点三 等比数列前项和公式的实际应用 探究点四 等比数列前项和的其他性质 探究点五 等差数列与等比数列综合问题 【学习目标】 1.掌握等比数列前 项和的性质及其应用； 2.会解决等比数列前 项和的应用问题； 3.能解决等差数列和等比数列的综合问题. 知识点一 等比数列前 项和的函数性质 在等比数列的前项和公式中,当时,如果令,那么 _____.从函数的角度看, 的图象必过_____,可以将指数函 数 的图象上所有点的纵坐标变为原来的_____,再向上或向下平 移____个单位得到（时向下平移, 时向上平移）. 原点 倍 【诊断分析】 已知等比数列的前项和,则 ___. 1 [解析] 由，可得 . 知识点二 等比数列前 项和的性质 1.若数列是等比数列,是其前项和, ,那么___,_____, _____成等比数列，公比为（注意：这连续 项的和必须非零 才能成立）.如图所示. 2.奇数项和与偶数项和的关系：设数列是公比为的等比数列, 是其奇数项和,是其偶数项和,则数列的前项和 , 有如下性质： （1）当为偶数时, ___; （2）当为奇数时, ___. 3.，， . 4.当时，;当时， . 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）在等比数列中,是其前项和,则,, 成等比数列. ( ) × [解析] 取常数列1,1,1, ,则,, ,不成等比数列. （2）在等比数列中,是其前项和,则,, 成 等比数列. ( ) × [解析] 取数列,1,, ,则,, ,不 成等比数列. （3）在等比数列中,是其前项和,则, , 成等比数列. ( ) √ [解析] 当时,, , ,,, 成等比数列; 当时, ,, , 因为,所以,, 构成公比为 的等比数列. （4）对于公比的等比数列的前项和公式， 的系数为 . ( ) √ [解析] 设等比数列的前项和为，当 时， ，则的系数为 . （5）已知数列的前项和 ，则数列 一定是等比数列. ( ) × [解析] 当时， 不是等比数列. 探究点一 等比数列前 项和的性质及应用 ［提问］ 在等差数列中,为其前项和，我们知道 , ,, 仍构成等差数列.在等比数列中, 为其前 项和，若连续项的和不等于0,那么,,, 仍 构成等比数列吗 为什么 解：,,, 仍构成等比数列. 在等比数列中，,, . 同理, , 则当时,,,, 仍构成等比数列. 例1（1） 记等比数列的前项和为，若, ，则 ( ) A.24 B.28 C.48 D.84 [解析] 由等比数列前项和的性质，可得,, 成等比数列， 所以，即 ， 解得 .故选D. √ （2）已知等比数列的前项和为12，前项和为48，则前 项 和为( ) A.324 B.480 C.108 D.156 [解析] 设等比数列的前项和为，则, ， 由等比数列前项和的性质知,,, 成等比数列， 则,可得 , 又,所以 .故选B. √ 变式 [2024·南昌高二期末] 在各项均为正数的等比数列中， 为其前项和，若,，则 的值为( ) A.10 B.20 C.30 D.40 [解析] 由,，得, ， 因为数列为等比数列，所以,, 成等比数列， 所以，所以 ， 整理得,解得或 ， 因为等比数列的各项都为正数，所以，所以 .故选D. √ ［素养小结］ 若等比数列的前项和为，则，， ， ， 成等比数列（其中，，， 均不 为0）.这一性质可直接应用，但在解题中需注意该性质的使用条件， 即公比或公比且为奇数时，，， 成等比数列. 探究点二 等比数列奇数项与偶数项和的关系 例2（1） 已知等比数列共有 项，其和为240，且 ，则公比 ___. 2 [解析] 由题意知，， ，， . （2）在等比数列中，， ， ，则 ___. 3 [解析] 设等比数列的公比为 ， 则 ， 即，解得 ， 所以 ， 即，解得 . 变式（1） 已知等比数列共有32项，其公比 ，且奇数项之 和比偶数项之和小60，则数列 的所有项之和是( ) A.30 B.60 C.90 ... ...
