(
课件网) 6.2 利用导数研究函数的性质 6.2.2 导数与函数的极值、最值 第2课时 利用导数研究函数的最值 探究点一 利用导数求函数的最值 探究点二 求解含参数的函数最值问题 探究点三 已知函数的最值求参数的值或 取值范围 【学习目标】 1.感知最大值和最小值的差异,以及函数极值与最值之间的联系 与区别，会求函数的最值; 2.体会导数在研究函数性质（单调性、最值和图象）中的工具性 作用. 知识点一 函数在 上的最值 假设函数在闭区间 上的图象是一条连续不间断的曲线， 则该函数在 上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值一定 在极值点或区间端点取得.由于可导函数在区间 内的极值只可能 在使 的点取得，因此把函数在区间端点的值与区间内使 的点的值作比较，最大的就是函数在 上的最大值，最 小的就是最小值. 【诊断分析】 函数的极值与最值有何区别与联系 解：区别：最值是在区间 上的所有函数值相比较最大（小）的 值,是区间内的整体概念； 极值是在区间上的某一个数值 附近相比较最大（小）的函数值, 是一个局部性的概念. 联系：最值在区间端点或极值点处取得,确定最值需比较极值与端点 的函数值的大小. 知识点二 求可导函数在 上的最值的步骤 函数在上连续，在上可导，求函数在 上的最 大值和最小值的步骤如下： （1）求函数在 内的所有_____; （2）计算函数 在_____和_____处的函数值； （3）将函数的各极值和， 进行比较，其中_____的一 个为最大值,_____的一个为最小值. 极值 最大 最小 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）若在上有极大值，则极大值一定是 上的最大值. ( ) × （2）若在上有极小值，则极小值一定是 上的最小值. ( ) × （3）若在上有极大值，则最小值一定是在或 处 取得. ( ) × （4）若在上连续，则在 上存在最大值和最小值. ( ) √ [解析] 函数在 上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值， 最值不一定会在端点处取得，而在 上一定存在最大值和最小值. 知识点三 可导函数在 上的最值 函数在 上连续且可导. （1）函数 不一定有最大值与最小值; （2）若函数在 上只有一个极值,且是极大（小）值,则这个 极大（小）值就是函数在 上的_____. 最大（小）值 探究点一 利用导数求函数的最值 ［提问］ 函数 的图象的最高点和最低点对应的横坐标分别 为函数的最大值点和最小值点.如果函数 存在最大值,那么其 最大值是否唯一 最大值点是否唯一 解：最大值唯一,最大值点不一定唯一. 例1 求函数, 的最值. 解：, , 令,解得, . 当变化时,, 的变化情况如下表所示: - 0 0 - 极小 值 极大 值 由上表知,为极大值点, 为极小值点, , , , . 通过比较知,, . 变式 [2024·上海南洋中学高二期末] 函数 在 上的最大值为____，最小值为___. 7 [解析] 由题可得 ， 当时，，当时， ， 所以在上单调递增，在 上单调递减， 所以在上的最大值为 ， 又，，且, 所以在 上的最小值为 . ［素养小结］ （1）求函数在区间 上的最值的步骤： ①求导函数，不要忘记函数 的定义域； ②求方程 的根； ③判断在方程的根的左右两侧的符号，确定函数 的极值; ④求函数 在区间端点处的函数值，将区间端点处的函数值与极 值比较，取最大的为最大值，最小的为最小值. （2）若函数在闭区间 上连续且单调，则最大值、最小值在端点 处取得. 探究点二 求解含参数的函数最值问题 例2 [2023·合肥一中高二期中] 已知函数 ，当 时，有极大值，且 . （1）求函数 的解析式； 解：因为 ， 所以 ， 因为当时， 有极大值, 所以，即，解得 . 当时， . 令，得；令，得或 . 所以在上单调递增，在上单调递减，在 上单调递增， 故在 处取得极大值，符合题目条件. 又，所以 ， ... ...
