2.3.2　两点间的距离公式 导学案（含答案） 高二年级数学人教A版选择性必修第一册

2.3.2　两点间的距离公式 学案设计 学习目标 1.掌握平面内两点间的距离公式. 2.会运用坐标法证明简单的平面几何问题. 自主预习 1.平面内两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式为|P1P2|=　　　　　　　　. 特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)间的距离|OP|=　　　　　　　　. 2.对两点间距离公式的理解 (1)此公式与两点的先后顺序　　　　　. (2)当直线P1P2平行于x轴时,|P1P2|=　　　　　. 当P1P2平行于y轴时,|P1P2|=　　　　　. 课堂探究 1.探究新知 问题:如图,已知平面内两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),如何求P1,P2间的距离|P1P2| 方法1: 方法2: 思考:当直线P1P2平行于x轴时,|P1P2|怎么表示 当直线P1P2平行于y轴时,|P1P2|怎么表示 【学以致用】 求下列两点间的距离: (1)A(6,0),B(-2,0);(2)C(0,-4),D(0,1); (3)P(6,0),Q(0,-2);(4)M(2,1),N(5,-1). 【例题讲解】 例1　已知点A(-1,2),B(2,),在x轴上求一点P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值. 例2　用坐标法证明:平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍. 变式训练　用坐标法证明:直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等. 核心素养专练 1.已知点A(-2,-1),B(a,3),且|AB|=5,则a的值为(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.1 B.-5 C.1或-5 D.-1或5 2.在△ABC中,已知A(4,1),B(7,5),C(-4,7),则BC边上的中线AD的长是(　　) A.2 B.3 C. D. 3.已知点A(5,2a-1),B(a+1,a-4),则当|AB|取最小值时,实数a的值是(　　) A.- B. C.- D. 4.已知点A(x,5)关于点(1,y)的对称点为(-2,-3),则点P(x,y)到原点的距离是(　　) A.2 B.4 C.5 D. 5.已知两定点A(-3,5),B(2,8),动点P在直线x-y+1=0上,则|PA|+|PB|的最小值为(　　) A.5 B. C.5 D.2 6.如图,已知△ABC的三顶点A(-3,1),B(3,-3),C(1,7). (1)判断△ABC的形状; (2)求△ABC的面积. 7.试在直线x-y+4=0上求一点P,使它到点M(-2,-4),N(4,6)的距离相等. 8.在△ABC中,AD是BC边上的中线.求证:|AB|2+|AC|2=2(|AD|2+|DC|2). 参考答案 自主预习 1. 2.(1)无关　(2)|x1-x2|　|y1-y2| 课堂探究 问题: 方法1:由点P1(x1,y1),P2(x2,y2),得=(x2-x1,y2-y1),于是||=. 由此得到P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点间的距离公式为||=. 方法2:如图,以P1P2为斜边构造一个Rt△P1P2Q,则点Q的坐标为(x2,y1). 所以|P1Q|=|x2-x1|,|P2Q|=|y2-y1|, 由勾股定理得|P1P2|=. 思考:当直线P1P2平行于x轴时,|P1P2|=|x1-x2|;当P1P2平行于y轴时,|P1P2|=|y1-y2|. 【学以致用】 解 (1)|AB|=8;(2)|CD|=5;(3)|PQ|=2; (4)|MN|=. 【例题讲解】 例1　解 设所求点为P(x,0),则 |PA|=, |PB|=, 由|PA|=|PB|,得x2+2x+5=x2-4x+11,解得x=1. 所以,所求点为P(1,0),且|PA|==2. 例2　证明 如图所示,四边形ABCD是平行四边形,以顶点A为原点,边AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系. 在 ABCD中,点A的坐标是(0,0),设点B的坐标为(a,0),点D的坐标为(b,c),由平行四边形的性质,得点C的坐标为(a+b,c). 由两点间的距离公式,得|AC|2=(a+b)2+c2,|BD|2=(b-a)2+c2,|AB|2=a2,|AD|2=b2+c2. 所以|AC|2+|BD|2=2(a2+b2+c2),|AB|2+|AD|2=a2+b2+c2. 所以|AC|2+|BD|2=2(|AB|2+|AD|2),即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍. 变式训练　证明 如图,在Rt△ABC中,M是斜边AB的中点,以直角顶点C为原点,两条直角边AC,BC所在直线为x轴、y轴,建立直角坐标系. 在Rt△ABC中,有C(0,0),设A(a,0),B(0,b),则有M, 所以|MC|=,|AB|=,所以|MA|=|MB|=|MC|=|AB|. 即直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等. 核心素养专练 1.C　解析 ∵|AB|==5, ∴a=-5或a=1. 2.C　解析 由题意知BC的中点D的坐标为,则|AD|=. 3.D　解析 由题意知|AB|=,所以当a=时,|AB|取得最小值. 4.D　解析 根据中点坐标公式可得=1且=y,解得x=4,y=1,所以点P的坐标为(4,1),则点P(x, ... ...