2.3.3 点到直线的距离公式 学案设计(一) 学习目标 1.探索并掌握点到直线的距离公式. 2.学会点到直线距离公式的应用. 3.通过经历公式多种推导方案的设计及比较,领会特殊到一般、转化与化归、分类与整合、数形结合、函数与方程等数学思想. 自主预习 点到直线的距离: 1.定义:点到直线的 的长度. 2.点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d= . 课堂探究 一、温故知新 平面直角坐标中两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式为 . 二、探究新知 问题:在平面直角坐标系中,求点P(1,2)到直线l:x+y-5=0的距离. 法1: 法2: 法3: 法4: 问题一般化:在平面直角坐标系中,求点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离. 点到直线的距离公式: . 例题讲解 例1 求点P(-1,2)到下列直线的距离: (1)y=x-1;(2)=1; (3)3x=2;(4)5x+2y+1=0. 例2 已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求△ABC的面积. 核心素养专练 1.若点P(a,0)到直线3x+4y-6=0的距离大于3,则实数a的取值范围为( ) A.(7,+∞) B.(-∞,-3) C.(-∞,-3)∪(7,+∞) D.(-3,7)∪(7,+∞) 2.已知P(a,b)是第二象限的点,则它到直线x-y=0的距离是( ) A.(a-b) B.b-a C.(b-a) D. 3.如果直线l经过两直线2x-3y+1=0和3x-y-2=0的交点,且与直线y=x垂直,则原点到直线l的距离是( ) A.2 B.1 C. D.2 4.(多选题)过点P(1,2)引直线,使M(2,3),N(4,-5)两点到它的距离相等,则这条直线的方程为( ) A.4x+y-6=0 B.x+4y-6=0 C.2x+3y-7=0 D.3x+2y-7=0 5.点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为 ( ) A.1 B. C. D.2 6.已知在△ABC中,A(3,2),B(-1,5),点C在直线3x-y+3=0上.若△ABC的面积为10,则点C的坐标为 . 7.已知P(m,n)是直线2x+y+5=0上的任意一点,则的最小值为 . 8.已知正方形ABCD的边CD所在直线的方程为x+3y-13=0,对角线AC,BD的交点为P(1,5),求正方形ABCD其他三边所在直线的方程. 参考答案 自主预习 1.垂线段 2. 课堂探究 一、温故知新 |P1P2|= 二、探究新知 问题:法1:垂线段法 图1 如图1,过点P作PQ⊥l于点Q. 步骤一:求出直线PQ的方程:x-y+1=0; 步骤二:联立直线PQ,l的方程,求出交点Q的坐标为(2,3); 步骤三:求出距离,|PQ|=. 法2:解直角三角形法 图2 如图2,在图1的基础上,过点P作PR∥x轴交直线l于点R. 步骤一:求出点P到直线l的水平距离|PR|=2; 步骤二:在Rt△PQR中,∠PRQ=45°, 故|PQ|=|PR|sin∠PRQ=. 法3:等面积法 如图3,在图2的基础上,过点P作PS∥y轴交直线l于点S. 图3 步骤一:求出Rt△SPR的三条边的长. 易得,|PR|=2,|PS|=2,|RS|=2. 步骤二:利用等面积法求出斜边上的高. |PQ|=. 法4:目标函数法 步骤一:求出点P到直线l上任一点M(x,y)的距离的平方: |PM|2=(x-1)2+(y-2)2. 步骤二:消元,转化为一元二次函数; |PM|2=2x2-8x+10=2(x-2)2+2,x∈R. 步骤三:求目标函数的最小值;当且仅当x=2时,取到最小值2;此时,|PM|=. 问题一般化:等面积法 图4 步骤一:过点P作x轴、y轴的垂线,分别交直线l于M,N两点,构造直角三角形MPN,则PQ为斜边上的高(如图4); 步骤二:求出直角三角形三条边的长; 易得,|PM|=, |PN|=, |MN|=; 步骤三:利用等面积法求出|PQ|. |PQ|=. 注意:A,B必须都不等于0,验证A=0或B=0时,该公式成立. 点到直线的距离公式:d=. 例题讲解 例1 解 (1)3;(2);(3);(4)0. 例2 解 设AB边上的高为h,则S△ABC=|AB|h. |AB|==2, kAB==-1,所以直线AB的方程为y-3=-(x-1),即x+y-4=0. 则点C到直线AB的距离为h=, 故△ABC的面积为S=×2=5. 核心素养专练 1.C 解析 根据题意,得>3,解得a>7或a<-3.故选C. 2.C 解析 ∵P(a,b)是第二象限的点, ∴a<0,b>0,∴a-b<0. ∴点P到直线x-y=0的距离d=(b-a). 3.C 解析 由题意建立方程组 ... ...
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