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课件网) 2.7 抛物线及其方程 2.7.1 抛物线的标准方程 探究点一 抛物线的定义及标准方程 探究点二 抛物线定义的应用 探究点三 抛物线的实际应用问题 ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念; 2.掌握抛物线的标准方程及其推导; 3.理解抛物线标准方程中 的几何意义,并能解决简单的求抛物线 标准方程的问题. 知识点一 抛物线的定义 一般地，设是平面内的一个定点，是不过点 的一条定直线，则平 面上到的距离与到 的距离_____的点的轨迹称为抛物线，其中定 点称为抛物线的_____，定直线 称为抛物线的_____. 相等 焦点 准线 【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）抛物线的焦点到准线的距离是 .( ) √ （2）抛物线上一点到焦点的距离与到准线的距离的比值为1.( ) √ （3）抛物线的焦点可以在准线上.( ) × （4）若点到点的距离和到直线 的距离相等， 则点 的轨迹是抛物线.( ) × 知识点二 抛物线的标准方程 标准方程 图形 _____ _____ _____ _____ 焦点坐标 准线方程 _____ _____ _____ _ _____ _____ 焦点到准线的距离 【诊断分析】 1.判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）抛物线的方程都是二次函数.( ) × [解析] 错误.抛物线的方程不都是二次函数,如开口向右的抛物线的标 准方程为,对任意一个的值, 的值不唯一,所 以不是二次函数. （2）原点到抛物线的准线的距离是 .( ) [解析] 错误.在抛物线的标准方程中,,焦点到准线的距离为 ， 原点到准线的距离为 . × （3）抛物线的开口方向由方程中的一次项确定.( ) √ [解析] 正确.一次项是 项时,一次项的系数大于0开口向右,一次项的 系数小于0开口向左; 一次项是 项时,一次项的系数大于0开口向上,一次项的系数小于0开 口向下. （4）若抛物线的方程为，则焦点到准线的距离 . ( ) × [解析] 错误.由抛物线知， . 2.（1）四种标准方程对应的抛物线的位置有何相同点 解：原点都在抛物线上;焦点在坐标轴上;准线与焦点在原点两侧,且 准线与其中一条坐标轴垂直. （2）二次函数 是否是抛物线的标准方程？ 解：二次函数 不是抛物线的标准方程，但可化为 ，这就是抛物线的标准方程. （3）已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？ 解：一次项变量为（或），则焦点在轴（或 轴）上. 若系数为正，则焦点在正半轴上；若系数为负，则焦点在负半轴上. 焦点确定，则开口方向也随之确定.焦点的横（或纵）坐标是（或 ） 一次项系数的 . 探究点一 抛物线的定义及标准方程 ［探索］ 抛物线上的点到焦点的距离与到_____的距离可以相互转化. 准线 例1（1）抛物线 的焦点坐标为( ) A. B. C. D. [解析] 抛物线的开口向下，焦点坐标为 .故选C. √ （2）抛物线 的准线方程是( ) A. B. C. D. [解析] 抛物线方程可化为,故所求准线方程为 ,故选A. √ （3）已知动圆与直线相切，且与定圆 外切，则动圆圆心 的轨迹方程为_____. [解析] 设,由题意可得到的距离与到直线 的距 离相等. 由抛物线的定义可知动圆圆心的轨迹是以 为焦点, 以为准线的一条抛物线,其方程为 . 变式（1）（多选题）［2024·吉林长春外国语学校高二期末］ 对抛 物线 ,下列说法正确的是( ) A.抛物线开口向左，焦点坐标为 B.抛物线开口向左，准线方程为 C.抛物线开口向下，准线方程为 D.抛物线开口向下，焦点坐标为 [解析] 抛物线的标准方程为 ，所以该抛物线的焦点坐标为 ，准线方程为，其开口方向向下.故选 . √ √ （2）［2025·河南南阳高二期中］已知为坐标原点， 为抛物线 的焦点，点在上，且 ， 则抛物线 的方程为( ... ...
