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课件网) 3.2 双曲线 3.2.1 双曲线的标准方程 探究点一 双曲线的定义 探究点二 双曲线的标准方程 探究点三 双曲线定义的应用 探究点四 双曲线的实际应用 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.能直观认识双曲线的几何特征,会识别双曲线的定义和相关概念. 2.能根据双曲线的几何特征选择适当的平面直角坐标系,根据双曲线 定义的代数表达类比导出双曲线的标准方程. 3.能识别焦点在不同坐标轴上的双曲线的标准方程,能说出标准方程中 特征量的关系,能初步应用双曲线的定义和标准方程解决一些相关问题. 知识点一 双曲线的定义 定义:平面内到两个定点, 的距离之差的_____等于常数 （小于的正数）的点的轨迹叫作双曲线，两个定点, 叫作双 曲线的焦点,两个焦点间的距离叫作双曲线的_____. 绝对值 焦距 知识点二 双曲线的标准方程 焦点位置 图形 _____ _____ 标准方程 _ _____ _ _____ 焦点坐标 _____ _____ _____ , , 两种双曲线 ， 的相同点是:它们 的形状、大小都相同,都有,, ;不同点是:两种双 曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同. 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）已知两定点,,满足条件的动点 的轨迹是双曲线.( ) × （2）双曲线的焦点在 轴上.( ) × （3）“方程表示双曲线”的充要条件是“与 异号”.( ) √ 2.在双曲线的定义中,若去掉条件 ,则点的轨迹是怎样的 解:①当等于时,动点的轨迹是以, 为端点的两条方向相反 的射线（包括端点）. ②当大于 时,点的轨迹不存在. ③当等于零时,点的轨迹为线段 的垂直平分线. 探究点一 双曲线的定义 例1 动点的坐标 满足关系式 ，则点 的轨迹是( ) A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线的一支 [解析] 设,，则 .由已知可得， ，所以点 的轨迹是双曲线的左支.故选D. √ 变式 平面内动点到两定点,的距离之差为 ，若动 点的轨迹是双曲线，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 由双曲线的定义可得，，且 ， 解得 .故选D. √ ［素养小结］ 判断点的轨迹是否为双曲线时，要根据双曲线的定义成立的充要条件. 探究点二 双曲线的标准方程 例2 求满足下列条件的双曲线的标准方程. （1）,经过点 ; 解:当双曲线的焦点在 轴上时, 设双曲线的标准方程为,把点 的坐标代入,得 ,不符合题意; 当双曲线的焦点在 轴上时,设双曲线的标准方程为 ,把点的坐标代入,得 . 所以所求双曲线的标准方程为 . （2）经过点, ； 解:设双曲线的方程为 ,因为双曲线经过点 , , 所以解得 所以所求双曲线的标准方程为 . 例2 求满足下列条件的双曲线的标准方程. （3）与双曲线有相同的焦点且过点 . 解:依题意,设所求双曲线的标准方程为 . 因为两双曲线有相同的焦点,所以 . 因为点在双曲线上,所以 . 由①②可得 , 故所求双曲线的标准方程为 . 例2 求满足下列条件的双曲线的标准方程. ［素养小结］ 双曲线标准方程的两种求法: （1）定义法:根据双曲线的定义得到相应的
,
,
,再写出双曲线的标 准方程. （2）待定系数法:首先设出双曲线的标准方程为
或
,然后根据条件 求出待定的系数,代入方程即可. 特别地,若双曲线的焦点的位置不明确,则应注意分类讨论,也可以设双 曲线方程为
,注意标明条件
. 探究点三 双曲线定义的应用 例3（1）已知双曲线的两个焦点分别为， ，双曲 线上有一点，若，则 ( ) A.9 B.1 C.1或9 D.11或9 [解析] 根据双曲线的定义可得 ， ，即， 因为 ， 所以或，且，所以 .故选A. √ （2）已知双曲线,,分别是双曲线的左、右焦点，点 在双曲线上且 ,则 的面积是_____. [解析] 双曲线，则, ,有. 在 中，由余弦定理得 ,即 , 因此,解得 ， ... ...
