(
课件网) 4.3 等比数列 4.3.3 等比数列的前 项和 第2课时 等比数列前 项和的性质及 应用 探究点一 等比数列的前项和的性质及应用 探究点二 等比数列前项和公式的实际应用 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.理解等比数列前 项和的性质. 2.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,抽象出等比数列 模型,并应用该模型解决相关问题. 知识点一 数列的前 项和的性质 性质1 若表示数列的前 项和,且 ,则数列 是等比数列 性质2 若数列是公比不为或公比为且 为奇数的等比数 列,为其前项和,则,,, 仍构成等比 数列 性质3 若是公比为 的等比数列,则 性质4 若数列是公比为的等比数列,,分别是数列 的 所有偶数项之和与所有奇数项之和,则在等比数列 中, ①若项数为,则 ; ②若项数为,则 ; ③若项数为且,则 续表 知识点二 解答数列应用问题的方法 （1）判断、建立数列模型 ①变化“量”是同一个常数:等差数列. ②变化“率”是同一个常数:等比数列. （2）提取基本量 从条件中提取相应数列的基本量,,,, . （3）根据要求利用公式或列出方程（组）求解问题. 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）已知等比数列的前项和是,则,, 成等比数列. ( ) × （2）已知等比数列的前项和是,则,, 成 等比数列.( ) × （3）在等比数列 中,若前10项和是10,前20项和是30,则前30项和 是70.( ) √ （4）一个乒乓球从1米高的某处自由落下,反弹后的高度是原来的 ,求六次着地时的总的路程是一个等比数列求和问题.( ) × 2.已知为等比数列，若，则，，， 成等比数列吗？ 解：成等比数列. 探究点一 等比数列的前 项和的性质及应用 例1（1）［2025·湖南浏阳一中高二月考］已知等比数列的前 项和为，若，，则 ( ) A.360 B.480 C.510 D.580 [解析] 因为数列为等比数列，所以由等比数列前 项和的性质 知，，，， ，， 构成首项为 ， 公比的等比数列，且 是该等比数列的前8项和， 所以 .故选C. √ （2）［2025·江苏南通中学高二月考］已知等比数列 共有32项， 其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列 的所有 项之和是( ) A.30 B.60 C.90 D.120 [解析] 设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为 ,则 ， ， 又，所以，解得,，故数列 的所有项之和是 .故选D. √ 变式（1）设各项都为正数的等比数列的前项和为 ，若 ，则 的值为____. 91 [解析] 等比数列的公比,，， 成等比 数列， ,,，， 成等比数列， ，， . （2）已知等比数列的前10项中，所有奇数项的和为 ，所有偶 数项的和为，则 的值为_____． 585 [解析] 设等比数列的公比为，并设等比数列 的前10项中， 所有奇数项的和为，所有偶数项的和为 ，则 ， 所以， 又 ，所以 ，因此 . ［素养小结］ 1.数列
的前
项和
满足
,
,
,
,
成等 比数列（其中
,
,
,
,
均不为0）,这一性 质可直接应用. 2.进行与等比数列的前
项和
有关的运算时,常用到两种方法:①两 式相除法,即通过两式相除,构造方程（组）,进而求得数列的基本量, 然后代入求解;②整体代入法,即设而不求,整体代换的方法.两种方法 中都不要忽略对公比
的讨论. 探究点二 等比数列前 项和公式的实际应用 例2 某地响应“绿水青山就是金山银山”的号召,投入资金进行生态环 境建设,并以此发展旅游产业,根据规划,2025年投入1000万元,以后每 年投入的资金比上一年减少 ,当地预计2025年的旅游业收入为500万 元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后每年的旅游业收入会 比上一年增加 . （1）设年内（2025年为第一年） ... ...
