第4章 微突破（九） 数列中奇偶项问题的四种类型（课件 学案 练习）高中数学苏教版（2019）选择性必修第一册

微突破(九)　数列中奇偶项问题的四种类型 例1　(1)B　(2)an=2n+[1+(-1)n] [解析] (1)∵数列{an}满足a1=1,an+1an=2n,∴==2,a2a1=2,得a2=2,∴数列{an}的奇数项与偶数项分别成等比数列,公比都为2,首项分别为1,2.则S2026=(a1+a3+…+a2025)+(a2+a4+…+a2026)=+=3×21013-3,故选B. (2)由题意可得an+1+an=4n+3,an+1+an+2=4n+7,两式相减可得 an+2-an=4,所以数列{an}的奇数项和偶数项分别构成公差为4的等差数列.由a1=2,a2+a1=4+3,可得a2=5.当n为奇数时,an=2+×4=2n;当n为偶数时,an=5+×4=2n+1.因此an=2n+[1+(-1)n]. 变式　C　[解析] 由an+1+an=3×2n,a2=5,可得a1+a2=a1+5=6,解得a1=1,则{an}的前11项的和为a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a10+a11)=1+3×(4+16+…+1024)=1+3×=1+4096-4=4093.故选C. 例2　解:(1)由题意知a2=a1+1,a3=2a2=2a1+2, 因为a2是a1,a3的等比中项,所以=a1a3,即(a1+1)2=a1(2a1+2), 显然a1≠0且a1≠-1,解得a1=1. (2)当n是奇数时,an=2an-1=2(an-2+1)=2an-2+2(n≥3), 即an+2=2(an-2+2)(n≥3), 因为a1+2=3,所以数列a1+2,a3+2,…,a2n-1+2,…是首项为3,公比为2的等比数列,则S20=a1+a2+a3+a4+…+a19+a20=a1+(a1+1)+a3+(a3+1)+…+a19+(a19+1)=2[(a1+2)+(a3+2)+…+(a19+2)]-30=2×-30=6108. 变式　(1)A　[解析] 当m为奇数时,由am-1·am=am+1(m≥2),得(m+1)2m=m+3 2m==1+(*),由m≥2可知2m≥22=4,1+∈,故(*)式无解.当m为偶数时,由am-1·am=am+1(m≥2),得2m-1(m+2)=2m+1 m+2==4 m=2.故选A. (2)解:①由an-1+an+1=2an(n≥2),得an+1-an=an-an-1(n≥2), 所以数列{an}为等差数列,所以S5=5×=5a3=15,得a3=3. 所以公差d==1,所以an=n. ②当n为奇数时,bn=an=n. 当n为偶数时bn==2n-1. 所以T2n=(b1+b3+…+b2n-1)+(b2+b4+…+b2n)=(1+3+…+2n-1)+(2+23+…+22n-1)=n2+. 例3　D　[解析] 由an+1+(-1)n·an=3n-1,得a2-a1=2,a3+a2=5,a4-a3=8,a5+a4=11,…,则a1+a3=3,a3+a5=3,a5+a7=3,a7+a9=3,…,即从第一项开始,依次取2个相邻奇数项的和都等于3;a2+a4=13,a6+a8=37,a10+a12=61,…,即从第二项开始,依次取2个相邻偶数项的和构成以13为首项,24为公差的等差数列.故S60=3×15+13×15+×24=2760.故选D. 变式　-17　[解析] an=(-1)n(2n+1)(n∈N*),若n是偶数,则n+1为奇数,此时an+an+1=2n+1-(2n+3)=-2,故S15=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a14+a15)=-3-2×7=-17. 例4　2101　[解析] 由递推关系可知, 若n是奇数, 则an+2=an+1,所以{a2k-1}(k∈N*)是以a1为首项, 1为公差的等差数列;若n是偶数, 则an+2=2an,所以{a2k}(k∈N*)是以a2为首项, 2为公比的等比数列.所以a2k-1=a1+(k-1)×1=k, a2k=a22k-1=2k, 可得S20=(a1+a3+…+a19)+(a2+a4+…+a20)=+ =2101. 变式　B　[解析] an=n2sin=n2sin=-n2cos(nπ)=∴S99=12-22+32-42+…+992=1+(3+2)×(3-2)+(5+4)×(5-4)+…+(99+98)×(99-98)=1+2+3+…+99=4950.故选B.微突破(九)　数列中奇偶项问题的四种类型 1.A　[解析] 因为数列{an}满足an=所以S21=3×2+3+3×23+7+…+39+3×221=3(2+23+…+221)+(3+7+11+…+39)=3×+=223+208,故选A. 2.A　[解析] 因为an=3n+1,bn=(-1)n+1an,数列{bn}的前n项和为Tn,所以T19=a1-a2+a3-a4+…+a17-a18+a19=4-7+10-13+…+52-55+58=(4-7)+(10-13)+…+(52-55)+58=-3×9+58=-27+58=31.故选A. 3.D　[解析] 由an·an+1+cos(nπ)=sin可得an·an+1=sin-cos(nπ),则当n为奇数时,anan+1=1+1=2;当n为偶数时,anan+1=-1-1=-2.故当n为奇数时,anan+1=2,an+1an+2=-2,则=-1,当n为偶数时,anan+1=-2,an+1an+2=2,则=-1.故对任意的n∈N*,=-1恒成立.所以数列{an}中的奇数项构成以-1为公比的等比数列,偶数项也构成以-1为公比的等比数列,因为a1=1,所以a2==2,所以S2026=+==3.故选D. 4.D　[解析] 因为an+an+1=4n+2①,所以当n≥2时,an-1+an=4(n- ... ...