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课件网) 6.2 空间向量的坐标表示 6.2.2 空间向量的坐标表示 第2课时 空间向量数量积的坐标运 算及空间两点间的距离公式 探究点一 空间向量数量积的坐标运算 探究点二 空间两点间的距离 探究点三 利用数量积公式求夹角及模 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.类比平面向量,知道空间向量及其运算的坐标表示. 2.基于运算,能探究空间向量模的坐标公式、空间两点间的距离公式. 3.类比平面向量,知道空间向量平行、垂直、夹角的坐标表示. 知识点一 空间向量数量积的坐标运算 设，，且， ，则 名称 满足条件 向量表示形式 坐标表示形式 , _____ _____ _____ , 知识点二 空间两点间距离公式及线段的中点坐标 1.空间两点间的距离公式 若,，则,两点间的距离为 _____. 2.空间线段中点的坐标公式 设,，则线段的中点 的坐标为 _____. 探究点一 空间向量数量积的坐标运算 例1（1）［2025·江苏盐城五校联盟高二联考］若 ， ，则 ( ) A.25 B. C. D.29 [解析] ， ，所以， ，所以， 故 .故选B. √ （2）已知向量，.若向量与 垂直，则 实数 的值为____. [解析] 由， ，得 ， 因为 ，所以， 则 ，解得 . 变式（1）已知，，且，则 ( ) A. B. C.1 D.2 [解析] 根据空间向量数量积的坐标公式得 ，解得 .故选C. √ （2）若，，则 ( ) A. B. C.5 D.7 [解析] ， ， ，， ，故选A. √ ［素养小结］ 关于空间向量数量积的坐标运算的两类问题 （1）直接计算问题 首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量数量积的 坐标运算公式计算. （2）求参数值 首先把向量坐标形式表示出来，然后通过数量积运算建立方程 （或方程组），解方程（或方程组）求出参数. 探究点二 空间两点间的距离 例2（1）在空间直角坐标系中，点，， ，则 点到的中点 的距离为( ) A. B. C.7 D.6 [解析] 由题知，，则， 又 ，所以 . 故选C. √ （2）［2025·北京丰台区高二期中］在棱长为4的正方体内有一点 ， 它到该正方体共顶点的三个面的距离分别为2，1，1，记正方体的中 心为点，则 ( ) A. B. C.2 D. √ [解析] 设三个面的公共顶点为，以 为原点建立如 图所示的空间直角坐标系，则 ， 因为点 到该正方体共顶点的三个面的距离分别为 2，1，1，所以可取 ，所以 . 故选D. 变式 已知， ，求： （1）线段的中点坐标和线段 的长度； 解：由，，可得线段中点的坐标是 ， 即， . 变式 已知， ，求： （2）到，两点距离相等的点 的坐标满足的条件. 解：因为点到， 两点的距离相等， 所以 ，即 ，化简 得,即为点 的坐标满足的条件. ［素养小结］ 利用空间两点间的距离公式求空间两点间距离的步骤： （1）建立适当的坐标系，并写出相关点的坐标； （2）代入空间两点间的距离公式求值. 探究点三 利用数量积公式求夹角及模 例3 如图,在棱长为2的正方体中,, 分别是 ,的中点,在棱上,且, 是 的中点.建立适当的空间直角坐标系,解决下 列问题. 例3 如图,在棱长为2的正方体中,, 分别是 ,的中点,在棱上,且, 是 的中点.建立适当的空间直角坐标系,解决下 列问题. （1）求证: ; 证明:以,, }为正交基底,建立 如图所示的空间直角坐标系 ,则 ,,, , ,, . 因为, ,所以 所以,即 . , 例3 如图,在棱长为2的正方体中,, 分别是 ,的中点,在棱上,且, 是 的中点.建立适当的空间直角坐标系,解决下 列问题. （2）求, ; 解：因为,所以 . 因为,且 ,所以 , . 例3 如图,在棱长为2的正方体中,, 分别是 ,的中点,在棱上,且, 是 的中点.建立适当的空间直角坐标系,解决下 列问题. （3）求 的长. 解：因为是的中点,所以 ， 又因为,所以 , 故,即 . 变式（1）［2025·江苏海门中学期中］已知向量 ， ，,， ... ...
