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课件网) 数学北师大版 高二上 4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系（4）点到直线的距离 平面内直线外一点到直线的距离的几种求解方法？ 1.综合几何方法：如上图（1），过点做直线的垂线，垂足为点，一般转化为求三角形的高，即的长度. 2. 解析几何方法：如上图（2），确定点的坐标及直线的方程，利用点到直线的距离公式即可得点到直线的距离的长度. 3. 平面向量方法：如上图（3），先求出直线的单位法向量，再求向量在法向量方向上的投影向量的长度即可. 设点是直线外一点，是直线的单位方向向量，过点作直线的垂足，垂足为点，则垂线段的长度就是点到直线的距离.如何求这个距离呢？ 思路一：类比平面内求点到直线的距离的思路知：若能求出垂线段的方向向量，则可在直线上任取一点，求在向量方向上的投影向量的长度即可. 在空间中，已知直线的方向向量，可以先求出在方向上的投影数量，然后在中运用勾股定理求得即可. 在中，，点到直线的距离为： . 设点是直线外一点，是直线的单位方向向量，过点作直线的垂足，垂足为点，则垂线段的长度就是点到直线的距离.如何求这个距离呢？ 因为 . 是关于的二次函数，容易知道：当时，最小，最小值为.所以点到直线的距离为. 思路二：对于直线上任意一点，总存在实数，使得， 于是 .因此只需求的值，使得最小即可. 若点是直线外一点，是直线的单位方向向量，点是直线上的任意一点，则点到直线的距离为. 如图，在空间直角坐标系中有长方体，求点到直线的距离． 解：依题有，故，， 在方向上的投影数量为. 所以点到直线的距离为 . 点到直线之间的距离问题步骤 化为向量问题 进行向量运算 回到图形问题 ①建立空间直角坐标系，求所需向量的坐标 ②应用距离的向量计算公式 ③得到所求距离 如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点为线段的中点.求点到直线的距离. 解：以为原点，所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则 ， 设，， 则. 所以点到直线的距离为. 1. 若点是直线外一点，是直线的单位方向向量，点是直线上的任意一点，则点到直线的距离为. 3. 用空间向量求两条平行直线的距离： 两条平行线的距离可转化为其中一条直线上任一点到另一条直线的距离． 化为向量问题 进行向量运算 回到图形问题 ①建立空间直角坐标系，求所需向量的坐标 ②应用距离的向量计算公式 ③得到所求距离 2．点到平面之间的距离问题步骤：. 本课小结 作业：教材第139页练习第1-2题． 异面直线间的距离 设直线a,b异面,向量a,b分别为它们的一个方向向量,如何求出这两条异面直线间的距离呢 如图,过直线a上任意一点A作b′// b,过直线b上任意一点B作a′// a ,则a∩b′=A,a′∩b=B,于是α与b′ ,a′与b均可确定一个平面,依次记作 .由立体几何的知识可以证明:平面，均由直线a ,b唯一确定,与点A,B的位置无关,且//于是,异面直线a,b的距离就转化为平行平面的距离,故只需先求出这两个平行平面的法向量,再求AB在此法向量上的投影向量的长度即可. 如何求这两个平行平面的法向量呢 设是平行平面 的一个法向量,显然有 , .因为向量,不共线,所以满足这个条件的所有向量都平行.也就是说,只需找到与向量,均垂直的向量即可. 如图,设点A,B分别是异面直线a,b上任意一点,向量,分别是直线a ,b的方向向量,向量是与向量,均垂直的向量,则异面直线a,b的距离为d= 谢谢 21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？ 欢迎加入21世纪教育网教师合作团队！！月薪过万不是梦！！ 详情请看： https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php ... ...
