高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册 第一章 空间向量与立体几何1.2 空间向量的数量积运算 一、单项选择题 1.如图，若正四面体的棱长为1，且，则（ ） A. -1 B. C. D. 1 2.已知在正四面体中，，，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 3.如图，已知正方体的棱长为1，则（ ） A. 1 B. C. D. -1 4.已知，是空间中两个互相垂直的单位向量，，，且，则实数（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 5.已知空间向量，满足，，，则向量，的夹角为（ ） A. B. C. D. 6.如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且与，的夹角均为60°，是的中点，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题 7.已知正方体的棱长为1，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 8.已知四面体中，，，两两垂直，则以下结论中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 9.在棱长为1的正四面体中，，分别是，的中点，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题 10.已知空间向量，，，其模均为1，且两两间的夹角均为60°，则_____. 11.已知，，与的夹角是120°，当与的夹角为钝角时，的取值范围为_____. 12.如图，边长为1的正方形所在的平面与正方形所在的平面互相垂直，则异面直线与所成的角为_____. 四、解答题 13.如图所示，在三棱锥中，，，两两垂直，且，为的中点。 （1）证明：； （2）求直线与所成角的余弦值。 14.将边长为1的正方形沿对角线折叠，使，则三棱锥的体积为多少？ 15.如图，在底面为菱形的平行六面体中，，分别在棱，上，且，，且。 （1）求证：，，，四点共面； （2）当为何值时，？ 一、单项选择题 1.答案：C 解析：利用向量线性表示与数量积分配律： 正四面体棱长为1，，其中。 （为正三角形）； 正四面体对棱向量数量积为0（），故。 因此。 2.答案：B 解析：利用中点性质与向量垂直判定： P、Q分别为、中点，故（中位线定理）。 正四面体对棱向量垂直：，故。 因与共线，故，夹角为。 3.答案：A 解析：建立空间直角坐标系（棱长为1，为原点）： 坐标：，，，； 向量：，； 数量积：。 4.答案：C 解析：利用垂直向量数量积为0： ，故，且。 ； 解得。 5.答案：D 解析：利用垂直条件求夹角： ，故。 代入，得； 由，得，故。 6.答案：A 解析：建立坐标系（为原点，底面为平面）： 坐标：，，，（由及夹角求得）； 为中点，故； 向量，模长。 二、多项选择题 7.答案：AB 解析：坐标系法计算（棱长1，）： A：，，数量积，正确； B：，，数量积，正确； C：，，数量积，错误； D：，，数量积，错误。 8.答案：ACD 解析：利用两两垂直的向量性质： A：两边平方后交叉项为0，故，正确； B：，不一定为0，错误； C：由数量积展开，交叉项为0，故，正确； D：，正确。 9.答案：ABC 解析：正四面体棱长1，： A：，正确； B：，正确； C：，正确； D：，错误。 三、填空题 10.答案： 解析：模长平方展开： ，故模长。 11.答案： 解析：夹角钝角的两个条件： i.数量积小于0：； ii.向量不共线：若共线则（舍去）。 综上，。 12.答案：（或） 解析：建立坐标系（正方形边长1，平面垂直）： 坐标：，，，； 向量：，； 夹角余弦：，故。 四、解答题 13.证明：建立坐标系（为原点，为轴，长度2）： 坐标：，，，，（中点）。 （1） ，， ，故。 （2）解： ， 夹角余弦值：。 14.解：建立坐标系（正方形边长1，折叠后）： 条件：，，故；，得； 高：； 体积：。 15.（1）证明： 向量：，，； 显然，故与共线，四点共面。 （2）解： ，； 垂直条件：； 解得（舍去负根），故。 ... ...
