7.3.4　正切函数的性质与图象 导学案（含答案）

7．3.4　正切函数的性质与图象 【课程标准】　1.借助单位圆能画出正切函数的图象.2.了解正切函数的周期性、单调性、奇偶性、最大 (小)值.3.借助图象理解正切函数在(－)上的性质． 教 材 要 点 知识点一　正切函数的图象 1．正切函数的图象： y＝tan x(x∈R且x≠＋kπ，k∈Z)的图象如图． 2．正切函数的图象称为_____． 3．正切函数的图象特征： 正切曲线是由通过点_____且与_____平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成．正切曲线是中心对称图形，对称中心是(，0)(k∈Z)． 知识点二　正切函数的性质 1．(1)函数y＝tan x(x∈R且x≠kπ＋，k∈Z)的图象与性质表： 解析式 y＝tan x 图象 定义域 _____ 值域 _____ 周期 _____ 奇偶性 _____ 单调性 在开区间_____内都是增函数 2.函数y＝tan ωx(ω≠0)的最小正周期是_____． 【学霸笔记】　正切函数的图象是对称的吗？ [提示]　正切函数是奇函数，其图象关于原点对称，并且有无数个对称中心，对称中心的坐标为(，0)(k∈Z)，正切函数的图象不是轴对称图形． 基 础 自 测 1．下列是函数f(x)＝tan (2x－)的对称中心的是(　　) A．(－，0) B．(，0) C．(0，0) D．(，0) 2．函数y＝tan x(－≤x≤，且x≠0)的值域是(　　) A．[－1，1] B．[－1，0) C．(－∞，1] D．[－1，＋∞) 3．函数y＝tan (2x－)的定义域是(　　) A．{x，k∈Z} B．{x＋kπ，k∈Z} C．{x，k∈Z} D．{x＋kπ，k∈Z} 4．y＝tan x(　　) A．在整个定义域上为增函数 B．在整个定义域上为减函数 C．在每一个开区间(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上为增函数 D．在每一个闭区间[－＋kπ，＋kπ](k∈Z)上为增函数 5．若f(n)＝tan (n∈N*)，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 025)＝_____． 题型1正切函数的定义域、值域问题 例1(1)求下列函数的定义域： ①y＝； ②y＝tan ()． (2)求函数y＝－tan2x＋2tanx＋5，x∈[－)的值域． 总结　(1)列出使各部分有意义的条件，注意正切函数自身的定义域． (2)换元转化为二次函数在给定区间上求值域问题． 总结 1．求正切函数定义域的方法及求值域的注意点 (1)求正切函数定义域的方法 ①求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝A tan x有意义，即x≠＋kπ，k∈Z； ②求正切函数y＝A tan (ωx＋φ)(A≠0，ω>0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”，令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x. (2)求解与正切函数有关的函数的值域时，要注意函数的定义域，在定义域内求值域；对于求由正切函数复合而成的函数的值域时，常利用换元法，但要注意新“元”的范围． 2.解正切不等式的两种方法 (1)图象法：先画出函数图象，找出符合条件的边界角，再写出符合条件的角的集合； (2)三角函数线法：先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中画出符合条件的区域．要特别注意函数的定义域． 跟踪训练1　(1)求函数y＝的定义域． (2)函数y＝tan2x－tanx＋2，x∈的值域为(　　) A．[，＋∞) B． C． D．[2，4] 题型2正切函数的奇偶性、周期性 (1)函数y＝4tan (3x＋)的周期为_____． (2)判断下列函数的奇偶性： ①y＝3x tan 2x－2x4； ②y＝cos (－x)＋tan x. 总结　(1)函数y＝A tan (ωx＋φ)的最小周期为T＝，常常利用此公式来求周期． (2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，再判断f(－x)与f(x)的关系． 总结 1．函数f(x)＝A tan (ωx＋φ)周期的求解方法： (1)定义法． (2)公式法：对于函数f(x)＝A tan (ωx＋φ)的最小正周期T＝. (3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现． 2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法： 先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数； ... ...