8.2.4　三角恒等变换的应用 导学案（含答案）

8．2.4　三角恒等变换的应用 【课程标准】　1.了解由倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦和正切公式的过程．(一般) 2．掌握半角的正弦、余弦和正切公式，能正确运用这些公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明．(重点、难点) 3．能根据两角和与差的正弦、余弦公式进行恒等变换，推导出积化和差与和差化积公式． 教 材 要 点 知识点一　半角公式 sin ＝_____，cos ＝_____，tan ＝_____． 【半角正切公式的有理化推导】 tan ＝＝＝； tan ＝＝＝， 所以tan ＝＝. 【学霸笔记】　如何确定半角的正弦、余弦和正切公式的符号？ [提示]　(1)如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号． (2)若给出角α的具体范围(即某一区间)时，则先求角所在范围，然后再根据角所在象限确定符号． 知识点二　积化和差公式 cos αcos β＝_____； sin αsin β＝_____； sin αcos β＝_____； cos αsin β＝_____． 知识点三　和差化积公式 设α＋β＝x，α－β＝y，则α＝_____，β＝_____．这样，上面的四个式子可以写成 sin x＋sin y＝_____； sin x－sin y＝_____； cos x＋cos y＝_____； cos x－cos y＝_____． 【学霸笔记】　和差化积公式的适用条件是什么？ [提示]　只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果是一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式． 知识点四　万能公式 sin α＝_____； cos α＝_____； tan α＝_____． 万能公式可以把角α的三角函数式转化为用tan 表示的式子． 基 础 自 测 1.若cos α＝，α∈(0，π)，则cos ＝(　　) A． B．－ C． D．－ 2．cos 15°sin 105°＝(　　) A． B． C．＋1 D．－1 3．若α∈(0，)，sin 2α＝cos2α，则cos2α＝(　　) A．－ B．－ C．0 D． 4．在△ABC中，已知sin B sin C＝cos2，则△ABC的形状是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 5．设α∈(π，2π)，则＝_____． 题型1化简问题 例1已知π<α<，求的值． 总结　解答本题可先用倍角公式“升幂”，再根据的范围开方化简． 总结 要熟记一些可用公式的形式，如：1＋cos α＝2cos2，1－cosα＝2sin2，1±sinα＝(sin ±cos )2等，解题时应有意识地将这些形式变形寻求思路． 跟踪训练1　化简：(180°