2.2 导数的概念及其几何意义 导学案（含答案）

§2　导数的概念及其几何意义 最新课程标准 学科核心素养 通过函数图象直观理解导数的几何意义． 1.理解导数的概念及其几何意义．(数学抽象) 2．会求导数及理解导数的实际意义．(数学运算、数学抽象) 3．会求曲线的切线方程．(数学运算) 导学 [教材要点] 要点一　导数的概念 设函数y＝f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值y从 ＝_____＝. 当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个_____，那么这个值就是函数y＝f(x)在点x0的瞬时变化率，在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在点x0处的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝ 要点二　割线的定义 函数y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变化率为，它是过A(，f(x0))和B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的_____，这条直线称为曲线y＝f(x)在点A处的一条割线． 要点三　切线的定义 当Δx趋于零时，点B将沿着曲线y＝f(x)趋于_____，割线AB将绕点A转动最后趋于直线l，直线l和曲线y＝f(x)在点A处“相切”，称直线l为曲线y＝f(x)在_____处的切线． 要点四　导数的几何意义 函数y＝f(x)在x0处的导数，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的_____． [练习] 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同．(　　) (2)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．(　　) (3)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．(　　) (4)函数f(x)＝0没有导函数．(　　) 2．函数在某一点的导数是(　　) A．在该点的函数的增量与自变量的增量的比 B．一个函数 C．一个常数，不是变数 D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率 3．设函数y＝f(x)可导，则等于(　　) A．f′(1)　　　　　　 B．3f′(1) C．f′(1) D．以上都不对 4．抛物线y＝x2＋4在点(－2，8)处的切线方程为_____． 导思 题型一　在某一点处导数的实际意义 例1　建造一幢面积为x m2的房屋需要成本y万元．假设函数y＝f(x)在x＝100处的导数为f′(100)＝0.1，请解释它们的实际意义． 总结 结合实例，明确在实际问题中导数的含义以及需要用导数概念来理解的量． 跟踪训练1　某河流在一段时间x min内流过的水量为y m3，y是x的函数，若函数y＝f(x)在x＝27处的导数f′(27)＝，试解释它的实际意义． 题型二　求函数在某点处的导数 例2　利用导数的定义，求函数y＝f(x)＝＋2在点x＝1处的导数． 总结 求函数y＝f(x)在点x0处的导数的方法 (1)求Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求； (3)当Δx趋于0时，得f′(x0)． 跟踪训练2　求函数f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数． 题型三　求曲线在某点处的切线方程 例3　已知曲线C：y＝，求曲线C上的横坐标为2的点处的切线方程． 总结 求曲线在某点处的切线方程的步骤 (1)求斜率：求出曲线在点(x0，f(x0))处切线的斜率f′(x0)； (2)写方程：用点斜式y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)写出切线方程； (3)变形式：将点斜式变为一般式． 跟踪训练3　求曲线f(x)＝在点(－2，－1)处的切线方程． 易错辨析　对切线的理解不全面致误 例4　已知曲线f(x)＝上的一点P(0，0)，求曲线在点P处的切线方程． 解析：， 当Δx趋于0时，割线的倾斜角无限趋近于， 斜率不存在，故曲线在点P处的切线为y轴， 即切线方程为x＝0. 【易错点】 出错原因 纠错心得 误认为函数在点P处的导数不存在，则曲线在该点处的切线就不存在． 函数在某点处可导是曲线在该点处存在切线的充分不必要条件．因此，在求曲线上某点处的切线方程时，如果导数不存在，可由切线的定义来求切线方程． [课时训练] 1．函数y＝x2在x＝1处的导数为(　　) A．2x B．2＋Δx C．2 D．1 2．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线(　　) A．不存在 B．与x轴平行或重合 C．与x轴垂直 D．与x轴斜交 3．已知函数 ... ...