27.2.2 相似三角形的性质 导学案（含答案） 2025-2026学年人教版 初中数学九年级下册

27.2.2　相似三角形的性质 素养目标 1.知道相似三角形对应线段(中线、高线、角平分线)的比与相似比之间的关系. 2.知道相似三角形的周长比和面积比与相似比之间的关系. 3.能灵活运用相似三角形的判定和性质解决简单的问题,提高分析、推理能力. ◎重点:探索并掌握相似三角形的性质,并进行简单地应用. 【预习导学】 知识点一：相似三角形的对应线段的比与相似比的关系 认真阅读课本本课时第二个“思考”之前的内容,理解证明“相似三角形对应高的比等于相似比”的方法,填空: 归纳总结　相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于　 . 相似三角形的周长比等于 . 知识点二：相似三角形的面积比与相似比的关系 认真阅读课本本课时第二个“思考”之后的内容,填空: 归纳总结　相似三角形的面积比等于 . 【合作探究】 任务驱动一：相似三角形对应线段的比的应用 1.如图,已知△ABC∽△A'B'C',它们的相似比为k,AD,A'D'是对应的中线.求证: ==k. 　　变式演练　 1.已知两个相似三角形对应中线之比为1∶4,那么它们的对应高之比为 ( ) A.1∶2 B.2∶3 C.1∶4 D.1∶5 2.已知△ABC∽△A'B'C',对应角平分线的比是1∶,且BC边上的高是3,则B'C'边上的高是 . 任务驱动二：相似三角形的周长比 2.已知△ABC的三边长分别为6,8,10,和△ABC相似的△A'B'C'的最长边长为30,求△A'B'C'的周长. 变式演练　 1.如图,已知DE∥BC,且AD∶BD=1∶2,则△ADE与△ABC的周长比为　　　　. 2.两个相似三角形的相似比是1∶2,其中较小三角形的周长为6 cm,则较大三角形的周长为 . 任务驱动三：相似三角形的面积比的应用 3.两个相似三角形的相似比为2∶3,面积之差为25 cm2,则这两个三角形的面积分别是 . 变式演练　 1.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,且==,则的值为　　　　. 2.DE把△ABC分成面积相等的两部分,则△ADE与△ABC的面积比为　　　　,因为相似三角形的面积比等于相似比的平方,所以相似比为　　　　. 3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,P为AB上一点,Q为BC上一点,且PQ⊥AB,若△BPQ的面积等于四边形APQC面积的,AB=5 cm,PB=2 cm,求△ABC的面积. 参考答案 【预习导学】 知识点一 归纳总结 相似比　相似比 知识点二 归纳总结 相似比的平方 【合作探究】 任务驱动一 1.证明:∵△ABC∽△A'B'C', ∴==k,∠B=∠B'. ∵AD,A'D'分别是△ABC,△A'B'C'的中线, ∴B'D'=B'C',BD=BC, ∴====k, ∴△ABD∽△A'B'D', ∴==k. 变式演练　1.C 2.9 任务驱动二 2.解:∵△ABC的三边长分别为6,8,10,且62+82=102, ∴△ABC是直角三角形, ∴△ABC的最大角是90°. ∵和△ABC相似的△A'B'C'的最长边长为30, ∴△ABC与△A'B'C'的相似比为10∶30=1∶3, ∴另两条边的长分别为6×3=18,8×3=24, ∴△A'B'C'的周长为18+24+30=72. 变式演练　1. 2.12 cm 任务驱动三 3.20 cm2和45 cm2 变式演练　1. 2.　 3.解:∵∠C=∠QPB,∠B=∠B, ∴△BPQ∽△BCA. 又∵=, ∴S△BPQ∶S△BCA=1∶5,∴=. ∵AB=5,∴QB=. ∵PB=2,∴QP==1, ∴△BPQ的面积=×2×1=1,∴S△BCA=5. ... ...