3.2.1 基本不等式的证明 课件（共19张PPT）

3.2.1 基本不等式的证明 1.了解基本不等式的证明过程. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 某金店有一座天平，由于左右两臂长略有不等，所以直接称重不准确．有一个顾客要买一串金项链，店主分别把项链放于左右两盘各称一次，得到两个不同的重量a和b，然后就把两次称得的重量的平均数 作为项链的重量来计算． ????+????2 ? 项链放到天平的左边，测出它的质量为???? ? a 项链放到天平的右边，测出它的质量为b b 实际重量 想一想：结合物理知识，你能想办法得到项链的实际重量吗？ 实际重量 项链放到天平的左边，测出它的质量为???? ? a 项链放到天平的右边，测出它的质量为b b l2 l1 活动1：探究项链的实际重量 设天平的两臂长分别为 ????1，????2，物体实际质量为 ????，根据力学原理有 ????1???? ＝ ????2????，????2???? ＝ ????1????. 将上述两个等式的两边分别相乘，得????1????2????2＝????1????2????????， 所以 ????＝????????. ? （几何平均数） ????+????2 ? （算术平均数） 它们大小关系如何？ 当????＞0，????＞0时，我们可以尝试作出长度为???????? 和 ????＋????2 的两条线段，再比较这两条线段的长. ? 活动2：???????? 和 ????＋????2的大小比较 ? 从图形角度： 如图，????????是圆的直径，点????是????????上一点，????????=????， ????????=????.过点????作垂直于????????的弦????????，连接????????，????????. 半径????????=_____，则????????=_____ ? ????????与????????大小关系怎么样？ ? a+b2 ? ab ? ????????≥???????? ? a+b2≥???????? ? 当且仅当点????与圆心重合时取等. ? 几何意义： 半径不小于半弦长 △ACD ∽△DCB 试一试1：结合图形，完成???????? 和 ????＋????2的大小比较. ? CD小于或等于圆的半径OD 试一试2：你能证明 吗？说说你的方法. 从代数角度： 试一试2：你能证明 吗？说说你的方法. 试一试2：你能证明 吗？说说你的方法. 基本不等式：对任意的a>0，b>0，都有 ?ab ≤ a+b2 当且仅当a=b时，等号成立. ? 几何平均数 算术平均数 知识归纳 代数意义：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 几何意义：半径不小于半弦. 推论：两个重要不等式 重要不等式2： ????????≤????+????22（????,????∈????） 当且仅当“????=b”时取等号. ? 重要不等式1： ????+????≥2????????（????,????∈????） 当且仅当“????=b”时取等号. ? 知识归纳 证明：（1）因为 ????，???? 为正数，所以 ba?， ab 也为正数. 由基本不等式，得 ba＋ab ≥2ba·ab ＝2， 当且仅当 ba＝ab ，即 ????＝???? 时，取得等号. 所以原不等式成立. ? 例1：设 ????，???? 为正数，证明下列不等式成立： （1）ba＋ ab?≥2； （2）a＋b＋1a＋ 1b?≥4； ? 一正 二定 三相等 下结论 例1：设 ????，???? 为正数，证明下列不等式成立： （1）ba＋ ab?≥2； （2）a＋b＋1a＋ 1b?≥4； ? 证明：（2）因为 ????，???? 为正数，所以 1a?， 1b 也为正数. 由基本不等式，得 ????＋1????≥2????·1???? ＝2， ????＋1????≥2????·1???? ＝2 所以 ????＋????＋1????＋ 1?????≥4， 当且仅当 ????＝1?????，????＝1???? 时，即????＝????＝1时，取得等号. 因此，原不等式成立. ? 例2：设 ????＝????＋16????＋2，????∈(－2，＋∞)，求????的最小值. ? 解：因为 ????＞－2，所以 ????＋2＞0. 由基本不等式，得 ????＋16????＋2 ＝ (????＋2)＋16????＋2－2 ≥2(????＋2)＋16????＋2－2?＝6， 当且仅当 ????＋2＝ 16????＋2，即 ????＝2时，等号成立. 因此，当 ????＝2 时，????的最小值为6. ? 2. 在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或把恒等式变形，配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式. ... ...