
3.2.1 基本不等式的证明 1.了解基本不等式的证明过程. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 某金店有一座天平,由于左右两臂长略有不等,所以直接称重不准确.有一个顾客要买一串金项链,店主分别把项链放于左右两盘各称一次,得到两个不同的重量a和b,然后就把两次称得的重量的平均数 作为项链的重量来计算. ????+????2 ? 项链放到天平的左边,测出它的质量为???? ? a 项链放到天平的右边,测出它的质量为b b 实际重量 想一想:结合物理知识,你能想办法得到项链的实际重量吗? 实际重量 项链放到天平的左边,测出它的质量为???? ? a 项链放到天平的右边,测出它的质量为b b l2 l1 活动1:探究项链的实际重量 设天平的两臂长分别为 ????1,????2,物体实际质量为 ????,根据力学原理有 ????1???? = ????2????,????2???? = ????1????. 将上述两个等式的两边分别相乘,得????1????2????2=????1????2????????, 所以 ????=????????. ? (几何平均数) ????+????2 ? (算术平均数) 它们大小关系如何? 当????>0,????>0时,我们可以尝试作出长度为???????? 和 ????+????2 的两条线段,再比较这两条线段的长. ? 活动2:???????? 和 ????+????2的大小比较 ? 从图形角度: 如图,????????是圆的直径,点????是????????上一点,????????=????, ????????=????.过点????作垂直于????????的弦????????,连接????????,????????. 半径????????=_____,则????????=_____ ? ????????与????????大小关系怎么样? ? a+b2 ? ab ? ????????≥???????? ? a+b2≥???????? ? 当且仅当点????与圆心重合时取等. ? 几何意义: 半径不小于半弦长 △ACD ∽△DCB 试一试1:结合图形,完成???????? 和 ????+????2的大小比较. ? CD小于或等于圆的半径OD 试一试2:你能证明 吗?说说你的方法. 从代数角度: 试一试2:你能证明 吗?说说你的方法. 试一试2:你能证明 吗?说说你的方法. 基本不等式:对任意的a>0,b>0,都有 ?ab ≤ a+b2 当且仅当a=b时,等号成立. ? 几何平均数 算术平均数 知识归纳 代数意义:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 几何意义:半径不小于半弦. 推论:两个重要不等式 重要不等式2: ????????≤????+????22(????,????∈????) 当且仅当“????=b”时取等号. ? 重要不等式1: ????+????≥2????????(????,????∈????) 当且仅当“????=b”时取等号. ? 知识归纳 证明:(1)因为 ????,???? 为正数,所以 ba?, ab 也为正数. 由基本不等式,得 ba+ab ≥2ba·ab =2, 当且仅当 ba=ab ,即 ????=???? 时,取得等号. 所以原不等式成立. ? 例1:设 ????,???? 为正数,证明下列不等式成立: (1)ba+ ab?≥2; (2)a+b+1a+ 1b?≥4; ? 一正 二定 三相等 下结论 例1:设 ????,???? 为正数,证明下列不等式成立: (1)ba+ ab?≥2; (2)a+b+1a+ 1b?≥4; ? 证明:(2)因为 ????,???? 为正数,所以 1a?, 1b 也为正数. 由基本不等式,得 ????+1????≥2????·1???? =2, ????+1????≥2????·1???? =2 所以 ????+????+1????+ 1?????≥4, 当且仅当 ????=1?????,????=1???? 时,即????=????=1时,取得等号. 因此,原不等式成立. ? 例2:设 ????=????+16????+2,????∈(-2,+∞),求????的最小值. ? 解:因为 ????>-2,所以 ????+2>0. 由基本不等式,得 ????+16????+2 = (????+2)+16????+2-2 ≥2(????+2)+16????+2-2?=6, 当且仅当 ????+2= 16????+2,即 ????=2时,等号成立. 因此,当 ????=2 时,????的最小值为6. ? 2. 在利用基本不等式证明的过程中,常需要把数、式合理地拆成两项或多项或把恒等式变形,配凑成适当的数、式,以便于利用基本不等式. ... ...
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