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课件网) 3.2.1 课时1 双曲线的标准方程 1.了解双曲线的定义. 2.掌握双曲线的标准方程及其图形表示. 3.会求双曲线的标准方程. 思考：与两个定点的距离之和为常数(大于两个定点间的距离)的点的轨迹是椭圆.如果把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会是什么样的？ 动手操作：如图(A)，取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，点F1到点F2的长为2c(c>0).把笔尖放在拉链开口的咬合处M，点M到点F1的距离与点M到点F2的距离之差等于2a(c>a>0). 随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖就画出一条曲线. 这条曲线上的点M满足下面的条件： |MF1| - |MF2| = 2a. 同理可画出另一支(如图B). 这条曲线上的点M满足下面的条件： |MF2| - |MF1| = 2a. 这两条曲线合起来称为双曲线，每一条曲线叫作双曲线的一支. 概念讲解 双曲线的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数 (大于零且小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫作双曲线. F1 F2 焦距 焦点 M ① 两个定点F1、F2———双曲线的焦点; ②两个焦点间的距离 |F1F2| ———焦距. 讨论1：双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？ 若没有“绝对值”，则动点的轨迹是双曲线的一支. 若设动点为点M，则当|MF1|－|MF2|＝2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的双曲线的一支； 当|MF1|－|MF2|＝－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的双曲线的一支. 讨论2：在双曲线的定义中，必须要求“常数大于零且小于|F1F2|”，那么“常数等于|F1F2|”“常数大于|F1F2|”和“常数为0”时，动点的轨迹分别是什么 ①如果定义中常数等于|F1F2|，此时动点的轨迹是以F1或F2为端点的两条射线(包括端点). ②如果定义中常数大于|F1F2|，此时动点轨迹不存在. ③如果定义中常数为0，此时动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线. 动手尝试：类比椭圆标准方程的推导过程，思考怎样求双曲线的标准方程. 此时双曲线的焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，焦距为2c，c>0. 设P(x，y)是双曲线上一点， 则||PF1|－|PF2||＝2a(a为大于0的常数)， 即|PF1|－|PF2|＝±2a， ∴
， 动手尝试：类比椭圆标准方程的推导过程，思考怎样求双曲线的标准方程. 以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系. x O y 建系 F1 F2 F1 F2 P x O y (x，y) 设双曲线的焦距为2c(c>0)， 则F1(-c，0)，F2(c，0)， 设P(x ， y)为双曲线上一点，||PF1|-|PF2||=2a. 设点 列式 化简 此即为焦点在x轴上的双曲线的标准方程 思考： 如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分別为(0，-c)，(0，c)，那么双曲线的方程是什么？ 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 图形 焦点坐标 a，b，c的关系 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0) F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) c2=a2+b2 归纳总结 讨论： 在双曲线的标准方程中，怎样判断焦点在哪条坐标轴上 如果含x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果含y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上. 例1 求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)双曲线的一个焦点坐标是(0，-6)，且双曲线经过点A(-5，6). (2)以椭圆长轴的端点为焦点，且经过点(3，). 解：(1)由已知可得双曲线的焦点在y轴上， ∴设它的标准方程为1()， ∵点A在双曲线上，∴点A与两交点的距离的差的绝对值为 2a=|, 例1 求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)双曲线的一个焦点坐标是(0，-6)，且双曲线经过点A(-5，6). (2)以椭圆长轴的端点为焦点，且经过点(3，). 因此a=4， 又∵一个焦点坐标为(0，-6)，即c=6，∴b2＝c2－a2＝20， 故所求双曲线的标准方程为. (2)以椭圆长轴的端点 ... ...
