第十四章 全等三角形--全等三角形常见辅助线添加方法 重点题型梳理 专题练（二） 2025-2026学年上学期初中数学人教版（2024）八年级上册

中小学教育资源及组卷应用平台 第十四章 全等三角形--全等三角形常见辅助线添加方法 重点题型梳理 专题练（二） 2025-2026学年上学期初中数学人教版（2024）八年级上册 五、必备辅助线添法五 作垂线法 21．小宇和小明一起进行数学游戏：已知，将等腰直角三角板摆放在平面内，使点A在的内部，且两个底角顶点B，C分别放在边上． (1)如图1，小明摆放，恰好使得，又由于是等腰直角三角形，，从而直接可以判断出点A在的角平分线上．请回答：小明能够直接作出判断的数学依据是_____． (2)如图2，小宇调整了的位置，请判断平分是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请举出反例． 22．如图1，已知四边形ABCD，连接AC，其中AD⊥AC，BC⊥AC，AC＝BC，延长CA到点E，使得AE＝AD，点F为AB上一点，连接FE、FD，FD交AC于点G． （1）求证：△EAF≌△DAF； （2）如图2，连接CF，若EF＝FC，求∠DCF的度数． 23．如图，在中，，，，，延长交于.求证：. 24．（1）如图，在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足． 【积累经验】①如图1，当时，直接写出线段，，之间的数量关系是_____． 【类比迁移】②如图2，当时，①中的结论是否仍然成立 请说明理由． 【拓展应用】 （2）如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G，G是的中点吗 请说明理由． 25．【问题提出】 在数学活动课上，老师给出如下问题： （1）如图①，在中，是边上的中线，，，且边的长度为奇数，求的长．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．由已知和作图能得到，∴．根据小明的方法思考，的长为 ； 【问题探究】 （2）如图②，是的中线，点在的延长线上，，，，求的度数． 【问题解决】 （3）如图③，某学校新分到一块四边形空地，需要建设新图书馆，根据规划安排，将设为藏书区，设为阅览区，且，，，点为中点，连接并延长交于点，将设为公共活动区，设为行政辅助区，设为服务区，其中放置存包柜方便读者使用．若，，求服务区的面积． 六、必备辅助线添法六 见直角作延长线 26．如图，在中，，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是（ ） A． B．2 C． D． 27．如图，中，，，是的角平分线， ，则的最大值为（ ） A．30 B．10 C．20 D．40 28．如图，是的角平分线，，垂足为D，，，则 ． 29．如图，是的角平分线，，，，的面积是3，则的面积为 ． 30．如图，中，的角平分线相交于点，过作交的延长线于点，交于点． (1)求度数； (2)求证：； (3)猜想线段的数量关系，并证明． 答案 五、必备辅助线添法五 作垂线法 21． （1）解：因为，，根据角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上，所以点A在的角平分线上 故答案为：角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上． （2）结论：平分仍然成立； 证明：如解图3，过点A作，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ∴ ∴， 又∵，， ∴平分， 故（1）结论正确． 22． 证明：（1）∵AD⊥AC，BC⊥AC， ∴∠CAD＝∠ACB＝90°， ∵AC＝BC， ∴∠BAC＝∠B＝45°， ∴∠EAF＝180°﹣∠BAC＝135°，∠DAF＝∠CAD+∠BAC＝135°， ∴∠EAF＝∠DAF， 在△EAF和△DAF中， ， ∴△EAF≌△DAF（SAS）； （2）如图2，过点F作FM⊥FA交AC于点M， ∵FA⊥FM，∠FAM＝45°， ∴∠FMA＝45°＝∠FAM， ∴FA＝FM，∠FMC＝∠FAE＝135°， ∵EF＝FC， ∴∠FEM＝∠FCA， 在△AEF和△MCF中， ， ∴△AEF≌△MCF（AAS）， ∴∠AFE＝∠MFC，EF＝DF， ∵△EAF≌△DAF， ∴∠EFA＝∠DFA， ∴∠DFA＝∠MFC， ∴∠AFM＝∠DFC＝90°， ∵DF＝EF＝CF， ∴△CDF是等腰直角三角形， ∴∠DCF＝45°． 如图，过点D作的延长线于点G， ， ， ， 又∵∠ACB=∠BGD=90°，BA= ... ...