3.3探索与表达规律 【知识点1】规律型：数字的变化类 1 【知识点2】规律型：图形的变化类 2 【题型1】数或式的表达规律 4 【题型2】图形的表达规律 7 【知识点1】规律型：数字的变化类 探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律． （1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式． （2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程． 1.（2024春 西安校级期中）根据（x-1）（x+1）=x2-1，（x-1）（x2+x+1）=x3-1，（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1，（x-1）（x4+x3+x2+x+1）=x5-1 的规律，则22024+22023+22022+ +22+2+1的个位数字是（ ） A．7 B．5 C．3 D．1 【答案】D 【分析】由题意可发现规律，再将x=2代入进行计算可得22024+22023+22022+ +22+2+1=22025-1，然后根据2n-1的末位数字的规律，即可解答． 【解答】解：根据题意得：， 把x=2代入得：（2-1）（22024+22023+22022+ +22+2+1）=22025-1， ∴22024+22023+22022+ +22+2+1=22025-1， ∵21-1=1，22-1=3，23-1=7，24-1=15，25-1=31， ， ∴2n-1的末位数字是按1，3，7，5为一个循环的， ∵2025÷4=506 1， ∴22025-1的末位数字为1． 故选：D． 2.（2024春 蓬莱区期中）我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”． （a+b）0=1 （a+b）1=a+b （a+b）2=a2+2ab+b2 （a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3 （a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 （a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 … 按照上述规律，则（a+b）10展开式中所有项的系数和是（ ） A．29 B．29+2 C．210 D．210+2 【答案】C 【分析】根据已有等式，推出（a+b）n的展开式的系数之和为2n，即可得出结果． 【解答】解：（a+b）1=a+b,系数之和为1+1=2=21； （a+b）2=a2+2ab+b2，系数之和为1+2+1=4=22； （a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，系数之和为1+3+3+1=8=23； ， ∴（a+b）n的展开式的系数之和为2n， ∴（a+b）10展开式中所有项的系数和是210； 故选：C． 【知识点2】规律型：图形的变化类 图形的变化类的规律题 首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． 1.（2023秋 沈丘县期末）请你从下列选项中的四个图形中，选一个小人放到图中问号的位置，最合适的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知图形得出变化规律，小人从左边直接移到最右边，依次这样移动，进而得出答案． 【解答】解：如图所示：小人的移动规律是从左边直接移到最右边，依次这样移动，故选一个小人放到图中问号的位置最合适． 故选：A． 2.（2024秋 宁阳县期末）图1是第七届国际数学教育大会（ICME-7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2所示）演化而成的．如果图2中OA1=A1A2=A2A3= =A7A8=1，那么OA8的长为（ ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】OA1=1，根据勾股定理可得，，找到的规律，即可计算OA8的长． 【解答】解：∵OA1=1， ∴由勾股走理可得， ， …， ， ∴． 故选：C． 【题型1】数或式的表达规律 【典型例题】如图1是一根起点为0且标有单位长度的射线，现有同学将它弯折成如图2，弯折后落在虚线上的点，从下往上第一个数是0，第二个数是12，第三个数是42，…，依此规律，落在虚线上的第五个点对应的数是( ... ...
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