*2.5 一元二次方程的根与系数的关系 【学习目标】 掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题． 【学习重点】 根与系数的关系及运用． 【学习难点】 定理的发现及运用． 学习过程 一、情景导入，初步认识 我们知道生活中许多事物存在着一定的规律，有人发现并验证后就得到伟大的定理，而我们数学学科中更蕴藏着大量的规律．那么一元二次方程中是否也存在什么规律呢？ 二、思考探究，获取新知 解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x1＋x2，x1·x2的值，它们与对应的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？ 一元二次方程 x1 x2 x1＋x2 x1·x2 x2＋6x－16＝0 x2－2x－5＝0 2x2－3x＋1＝0 通过计算一些特殊的一元二次方程的两根之和与两根之积，从中发现存在的一般规律，渗透特殊到一般的思考方法． 【归纳总结】 一般地，对于关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) ，用求根公式求出它的两个根x1，x2 ，由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式知 x1＝，x2＝，能得出以下结果： x1＋x2＝－，x1·x2＝. 三、运用新知，深化理解 1．求下列方程的两根之和与两根之积． (1)x2－6x－15＝0； (2)5x－1＝4x2； (3)x2＝4; (4)2x2 ＝3x. 解：(1)x1＋x2＝6，x1x2＝－15. (2)方程可化为4x2－5x＋1＝0，x1＋x2＝，x1x2＝. (3)方程可化为x2－4＝0，x1＋x2＝0，x1x2＝－4. (4)方程可化为2x2－3x＝0，x1＋x2＝，x1x2＝0. 2．已知关于x的方程x2－2(k－1)x＋k2＝0有两个实数根x1，x2. (1)求k的取值范围； (2)若|x1＋x2|＝x1x2－1，求k的值． 解：(1)Δ＝b2－4ac＝4(k－1)2－4k2≥0，解得k≤. (2)依题意可知x1＋x2＝2(k－1)，x1x2＝k2.由(1)可知k≤.∴2(k－1)<0，即x1＋x2<0，∴|x1＋x2|＝x1x2－1，即－2(k－1)＝k2－1，解得k1＝1，k2＝－3.又∵k≤， ∴k＝－3. 3．已知方程5x2＋kx－6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k的值． 解：设方程的另一个根是x1， 那么2x1＝－，∴ x1＝－.又x1＋2＝－.∴k＝－7. 4．利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2＋3x－1＝0的两个根的(1)平方和；(2)倒数和． 解：设方程的两个根分别为x1，x2， ∴x1＋x2＝－， x1x2＝－. (1)∵ (x1＋x2)2＝x＋2x1x2＋x， ∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝. (2)＋＝＝3. 5．已知关于x的方程x2－(k＋1)x＋k2＋1＝0，且方程两实数根的积为5，求k的值． 解：∵方程两实数根的积为5， ∴ 得∴当k＝4时，方程两实数根的积为5. 6．已知关于x的一元二次方程x2＋2(k－1)x＋k2－1＝0有两个不相等的实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由． 解：(1)Δ＝[ 2(k－1)] 2－4(k2－1)＝－8k＋8. ∵ 原方程有两个不相等的实数根， ∴－8k＋8＞0，解得k＜1，即实数k的取值范围是k＜1. (2)假设0是方程的一个根，则代入得 02＋2(k－1)· 0＋k2－1 ＝ 0， 解得k＝－1或 k＝1(舍去)． 即当k＝－1时，0就为原方程的一个根． 此时，原方程变为 x2－4x＝0，解得x1＝0，x2＝4， ∴它的另一个根是4. 四、学习小结 不解方程，根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合，可求得一些代数式的值；求得方程的另一根和方程中的待定系数的值． (1)先化成一般形式，再确定a，b，c； (2)当且仅当b2－4ac≥0时，才能应用根与系数的关系； (3)要注意符号：两个根的和是前面有负号，两个根的积是前面没有负号．2．3 用公式法求解一元二次方程 【学习目标】 1．理解求根公式的推导过程和判别公式． 2．能熟练地运用公式法求解一元二次方程． 【学习重点】 求根公式的推导和公式法的应用． 【学习难点】 理解求根公式的推导过程及判 ... ...
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