1.4.1 用空间向量研究直线、平面位置关系 题型01 直线与平面的向量表示 3 题型02 平面的法向量 5 题型03 平行问题 9 题型04 垂直问题 10 知识点1： 直线的方向向量 1．l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量． 2．空间直线的向量表示：． 知识点2： 平面的法向量 1．直线l⊥α,取直线l的方向向量，称向量为平面α的法向量． 2．给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合． 知识点3： 平行关系 1．设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合) v1∥v2． 2．设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l α 存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2． 3．设l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l α v⊥u． 4．平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β u1∥u2． 知识点4： 垂直关系 1．设l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2 v1⊥v2 v1·v2＝0． 2．设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α v∥u． 3．设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β u1⊥u2 u1·u2＝0． 1．直线方向向量的求解． l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量． 2．法向量的求解． (1) 写出平面内两向量的坐标． (2) 设出法向量． (3) 根据数量积为零列出方程组． (4) 解方程组，求出一个法向量． 3．向量法证明平行问题． (1) 线线平行：方向向量平行． (2) 线面平行：平面外的直线方向向量与平面法向量垂直． (3) 面面平行：两平面的法向量平行． 4．向量法证明垂直问题． (1) 线线垂直问题：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零． (2) 线面垂直问题：直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直． (3) 面面垂直问题：两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直． 题型01 直线与平面的向量表示 （2024秋 赤峰期末）已知向量（4，﹣2，6），（﹣4，2x2，6x）都是直线l的方向向量，则x的值是（ ） A．﹣1或1 B．﹣1 C．﹣3 D．1 【答案】B 【分析】结合方向向量的定义，列出方程组，即可求解． 【解答】解：向量（4，﹣2，6），（﹣4，2x2，6x）都是直线l的方向向量， 则，解得x＝﹣1． 故选：B． 【变式练1】（2024秋 景德镇期末）若P（0，1，1），Q（2，3，5）在直线l上，则直线l的一个方向向量的坐标为（ ） A．（1，1，2） B．（1，2，1） C．（1，2，2） D．（2，2，2） 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用方向向量的定义判断得解． 【解答】解：由题意可知，， 所以直线l的一个方向向量的坐标为（1，1，2）． 故选：A． 【变式练2】（2024秋 市中区期末）若A（1，0，﹣1），B（2，1，2）在直线l上，则直线l的一个方向向量是（ ） A．（1，1，1） B．（1，1，3） C．（3，1，1） D．（﹣3，0，1） 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合方向向量的定义，即可求解． 【解答】解：A（1，0，﹣1），B（2，1，2）， 则（1，1，3）． 故选：B． 【变式练3】（多选）（2024秋 大连期末）在空间中，下列说法正确的是（ ） A．若，，则＜2，﹣3 B．若{，，}是空间向量的一组基底，则{，，}可以构成空间向量的另一组基底 C．“向量，，共面”是“直线AB，CD，EF共面”的充要条件 D．，分别是直线l1，l2的方向向量，“与不平行”是“l1与l2异面”的必要条件 【答案】ABD 【分析】A中，由题意及向量夹角的定义，可得＜2，﹣3的夹角，判断出A的真假；B中，由空间向量作为基底的性质，判断出B的真假；C中，三个向量共面，则向量所在的直线不一定共面，判断出C ... ...
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