中小学教育资源及组卷应用平台 【能力培优】浙教版数学九年级上册重难点与压轴题专题对点突破 重难点01 二次函数综合之等腰三角形的存在性 三层巩固强化：知识梳理 + 经典例题 + 强化练习 在初中数学中，等腰三角形存在性模型是一种用于解决特定几何问题的模型，主要用于判断是否存在一个点，使得以该点和给定的两个定点为顶点的三角形是等腰三角形。这类问题在中考中常以压轴题的形式出现，综合性强，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高。等腰三角形存在性模型的问题描述：给定两个定点 A 和 B，在某条已知直线上（如坐标轴或直线方程）找一个动点 C，使得△ABC是等腰三角形。解等腰三角形的存在性问题,有几何法和代数法,把几何法和代数法相结合,可以使得解题又好又快。 1、“两圆一线”几何法 已知线段AB，在平面内找一点C，使△ABC为等腰三角形——— （1）以A点为圆心，AB为半径作圆，除AB所在直线与圆的交点外，圆上任意一点都可以与点A、B组成以AB为腰的等腰三角形，如图所示： （2）以B点为圆心，BA为半径作圆，除AB所在直线与圆的交点外，圆上任意一点都可以与点A、B组成以AB为腰的等腰三角形，如图所示： （3）作AB的垂直平分线，除与AB的交点外，垂直平分线上任意一点都可以组成以AB为底的等腰三角形，如图所示： 注：述图中的五个红色点不能与A、B两点组成等腰三角形，要去电，所以此方法又被称为“两圆一线去五点法”，为了更好的观察，下面我们将上述三个图形合并成一个，如图所示： “两圆一线去五点”法会得到无数个满足条件的点C，一般题目中都会对C点都有限制条件，使得C点的个数变为有限的，所以此类题一定要考虑全面，将所有满足题中条件的点准确找出来，不能多，也不能少。 2、两点间距离公式代数法 代数法解题步骤： （1）列出三边长的平方； （2）分类列方程； （3）解方程； （4）检验。 注：若△ABC是等腰三角形，那么可以分为①AB＝AC；②AB＝BC；③AC＝BC三种情况. 【典型应用】如图所示，在平面直角坐标系中，已知点D的坐标为（3，4），点P是轴正半轴上的一动点，如果是等腰三角形，求点P的坐标？ 【解答】、、 【解析】代数法求解 设，由题意可得， ①当时，，解得， 当时，既不满足点P在轴的正半轴 ，也不存在； ②当时，，解得，如图4所示， 当时，存在，但点P不在轴的正半轴上，故舍去； ③当时，，解得. （2024·四川雅安·中考真题）二次函数 是否存在某点，使得三角形为等腰三角形 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的表达式； (2)如图①，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标； (3)如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且．在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点或或或或 【详解】（1）解：由题意得：， 则， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由抛物线的表达式知，点， 由点B、C的坐标得，直线的表达式为：， 设点，则点， 则， ∵，故有最大值， 此时，则， 即点； （3）解：存在，理由： 设直线的表达式为， 由点的坐标得，，解得：， ∴直线的表达式为：， 令，，故， 过点作轴交轴于点，则， ， 则， 即直线和关于直线对称，故， 设直线的表达式为， 代入，，得， 解得：， 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：(舍去)或5， 即点； 设点，由的坐标得，， 当时，则， 解得：，即点或； 当或时， 同理可得：或， 解得：或， 即点或或； 综上，点或或或或． 1．（2024 莲湖区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）与x轴交 ... ...
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