浙教版九上-重难点02 二次函数综合之直角三角形的存在性（模型讲解 典例 强化）（原卷+解析版）

中小学教育资源及组卷应用平台 【能力培优】浙教版数学九年级上册重难点与压轴题专题对点突破 重难点02 二次函数综合之直角三角形的存在性 三层巩固强化：知识梳理 + 经典例题 + 强化练习 直角三角形存在性问题是中考常见题型，侧重对分类讨论思想的考查，对考生解题能力要求较高。考生既需要具备较强的创造性思维，又必须具备很强的计算能力。而不会分类，不会转化，不会变通，不懂发散，不会计算，常常会让考生在解答直角三角形存在性问题时陷入僵局。本专题讨论的中考题就是这种题型。 1、“两线一圆”几何法 已知线段AB，在平面内找一点C，使△ABC为等腰三角形——— （1）过点A作线段AB的垂线，除点A外，垂线上任意一点都可以与A、B两点组成直角三角形； （2）过点B作线段AB的垂线，除点B外，垂线上任意一点都可以与A、B两点组成直角三角形； （3）以线段AB为直径作圆，除AB的中点（圆心）外，圆上任意一点都可以与A、B两点组成直角三角形. 同样的，我们将上述情况放到同一个图形中，如下图所示：（AB所在直线上的点要去掉，即为图中红色的点） “两线一圆”法会得到无数个满足条件的点C，一般题目中也会对C点有限制条件，使得C点的个数变为有限的，所以此类题一定要考虑全面，将所有满足题中条件的点准确找出来，不能多，也不能少。 2、两点间距离公式代数法 代数法解题步骤： （1）表示出A、B、C的坐标； （2）表示出线段AB、AC、BC的长； （3）分类列方程：①，②，③； （3）解方程； （4）检验。 （2023·四川内江·中考真题）二次函数 判断三角形是以某边为直角边的直角三角形 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点．与y轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求与的最大值及此时点P的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得是以为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，的最大值为， (3)或 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得：， 抛物线的解析式为． （2）解：设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为； 设（）， ， 解得：， ， ， ， ， ， ， 当时，的最大值为， ， ． 故的最大值为，． （3）解：存在， 如图，过作交抛物线的对称轴于，过作交抛物线的对称轴于，连接， ∵抛物线的对称轴为直线， 设， ， ， ， ， ， 解得：， ； 设直线的解析式为，则有 ， 解得， 直线解析式为， ，且经过， 直线解析式为， 当时，， ； 综上所述：存在，的坐标为或． 1．如图，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）． （1）求该抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，试求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据点B和点C的坐标可以求得函数的解析式； （2）先判断是否存在，然后根据猜想，利用分类讨论的数学思想可以解答本题． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）， ∴，得， ∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）在抛物线的对称轴上存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形为直角三角形， 理由：∵抛物线y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，点B（3，0），点C（0，3）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴点A的坐标为（﹣1，0）， 设点Q的坐标为（1，t），则 AC2＝OC2+OA2＝32+12＝10， AQ2＝22+t2＝4+t2， CQ2＝12+（3﹣t）2＝t2﹣6t+10， 当AC为斜边时， 10＝4+t2+t2﹣6t+10， 解得，t1＝1或t2＝2， ∴点Q的坐标为（1，1）或（1，2）， 当AQ为斜边 ... ...