浙教版九上-重难点05 二次函数综合之正方形的存在性（模型讲解 典例 强化）（原卷+解析版）

中小学教育资源及组卷应用平台 【能力培优】浙教版数学九年级上册重难点与压轴题专题对点突破 重难点05 二次函数综合之正方形的存在性 三层巩固强化：知识梳理 + 经典例题 + 强化练习 作为特殊四边形中最特殊的一位，正方形拥有更多的性质，因此坐标系中的正方形存在性问题变化更加多样，从判定的角度来说，可以有如下：1.有一个角为直角的菱形；2.有一组邻边相等的矩形；3.对角线互相垂直平分且相等的四边形．依据题目给定的已知条件选择恰当的判定方法，即可确定所求的点坐标． 一、关于正方形的基础知识 1. 正方形的定义 四条边相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形； 2. 正方形的性质（正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质） 边：四边相等，邻边垂直，对边平行； 角：四个角都是直角； 对角线：对角线相等，对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角； 正方形是轴对称图形，有4条对称轴； 正方形是中心对称图形，两条对角线的交点就是对称中心. 3. 正方形的判定 四条边相等，四个角都是直角的四边形是正方形； 有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形是正方形； 有一组邻边相等的矩形是正方形； 有一个角是直角的菱形是正方形. 4. 特殊四边形之间的关系如图所示： 二、正方形存在性问题解决策略 1. 从未知量的角度来看，正方形可以有4个未知量，所以它的坐标应满足4个等量关系，互相平分2个，垂直（1个）且相等（1个）. 已知平面内2个定点，可以在平面内确定2个点使得它们构成正方形，但是，如果要在某条直线上确定点，很有可能会出现不存在的情况（未知量小于方程个数，无解）. 解决正方形存在性问题一般不用代数法，因为要列四元一次方程组，比较麻烦！ 2. 解决正方形存在性问题常用方法 （1）从正方形判定入手 若已知菱形，则证明一个角是直角或者对角线相等； 若已知矩形，则证明一组邻边相等或对角线互相垂直； 若已知对角线互相垂直或平分或相等，则加上其他条件即可. （2）构造三垂直全等 若条件并未给出关于四边形对角线的特殊性，一般任取3个顶点必然是等腰直角三角形，如果已经知道了两个定点，则可以通过构造三垂直全等来求出第3个点，然后再进一步求出第4个点. 若题目中给了4个动点，则先要判断此时的四边形是否为特殊的四边形，在特殊四边形基础上，再添加某些条件，使得其构成一个正方形. 三、典例讲解 如图，已知抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A（6，0），点C（0，4），AB＝5OB，设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形． （1）求抛物线解析式及顶点坐标； （2）求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？ （4）是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】（1）y＝ax2+bx+c，顶点坐标为；（2）S=﹣4x2+28x﹣24（1＜x＜6）；（3）不是菱形；（4）不存在 【解析】（1）∵点A（6，0），AB＝5OB， ∴点B（1，0）， 设所求抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c， 则由题意可得：，解得， ∴所求抛物线的解析式为， ∵， ∴所求抛物线的顶点坐标为； （2）∵点E（x，y）在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合，∴y＜0， 即﹣y＞0，﹣y表示点E到OA的距离． ∵OA是平行四边形OEAF的对角线， ∴S＝2S△OAE＝2××OA |y|＝﹣6y＝﹣6（x2﹣x+4）＝﹣4x2+28x﹣24， 自变量x的取值范围为：1＜x＜6； （3）根据题意得：﹣4x2+28x﹣24＝24， 解之，得x1＝3，x2＝4， ∴所求的点E有两个，分别为E1（3，﹣4），E2（4，﹣4）， ∵点E1（3，﹣4）， ∴OE＝5，， ∴OE＝AE， ∴平行四 ... ...