5.4.2 二项式系数的性质 课件（16页） 2025-2026学年北师大版（2019）高中数学选择性必修第一册

(课件网) 第五章 计数原理 5.4.2 二项式系数的性质 1.掌握二项式系数的性质，会进行简单的应用. 2.会用赋值法求二项展开式系数的和. 复习回顾： 1.二项式定理： 2.二项展开式的通项： 3.二项式系数： n (a + b) n 展开式的二项式系数 1 2 3 4 5 6 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 4 1 1 6 15 20 10 5 1 提示：(a + b) n 的展开式的二项式系数 问题1：用计算工具计算 (a + b) n 的展开式的二项式系数，并填入下表： 思考：通过计算、填表、说说发现了什么规律？ 每一行中的系数具有对称性 从函数角度分析： 可看成是以 r 为自变量的函数 f (r)，其定义域是{0，1，2，…，n}， 对于确定的 n，还可以画出图象；如，当 n = 6 时，函数 的图象是 7 个离散点，如图所示. 对于 (a + b) n 的展开式的二项式系数 n = 7 n = 8 n = 9 1. 对称性： 由此我们可得二项式系数的以下性质： 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． 事实上，这一性质可直接由公式 得到. 直线 将函数 的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴. 2. 增减性与最大值： 3.各二项式系数的和： 已知 这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于. 分析：奇数项的二项式的系数和为 偶数项的二项式的系数和为 由于 中的 a，b； 可以取任意实数，因此我们可以通过对 a，b 适当赋值来得到上述两个系数和. 例1：求证：在 (a + b) n 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 思考： 即 因此 即在 (a + b) n 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 证明：在展开式 中， 令 a = 1，b = -1，则得 例2：已知 求： （1）a1 + a2 + … + a7；（2）a1 + a3 + a5 + a7；（3）|a0| + |a1| + … + |a7|. 解：（1）令 x = 1，得： (1 - 2)7 = a0 + a1 + a2 + … + a7； ∴ a0 + a1 + a2 + … + a7 = -1； 令 x = 0，得：a0 = 1，∴a0 + a1 + a2 + … + a7 = -1 - a0 = -1-1 = -2； （2）令 x = 1，得： a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 = -1 ①； 令 x = -1，得： a0 - a1 + a2 - a3 + a4 - a5 + a6 - a7 = 37 ②； 由① - ②得： 2(a1 + a3 + a5 + a7) = -1 - 37； ∴ a1 + a3 + a5 + a7 = -1094. 例2：已知 求：（3）|a0| + |a1| + … + |a7|. （3）由展开式知 a1、a3、a5、a7 均为负数，a0、a2、a4、a6 均为正数； ∴ |a0| + |a1| + … + |a7| = a0 - a1 + a2 - a3 + a4 - a5 + a6 - a7； 由（2）可知，a0 - a1 + a2 - a3 + a4 - a5 + a6 - a7 = 37； ∴ |a0| + |a1| + … + |a7| = 37 = 2187. 解：(2 - 3x)15 的展开式中共有 16 项，中间的两项为第 8 项和第 9 项，这两项的二项式系数相等且最大，为 ，故选 B. 例3：在 (2 - 3x)15 的展开式中，二项式系数的最大值为（ ） B 回顾：根据二项式定理的性质，构建思维导图. ... ...