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课件网) 3.4.3.2 空间中的距离问题 （第二课时） 学习目标 1.掌握点到直线的距离公式，体现数学抽象能力（重点） 2.经历点到直线距离公式的推导过程，会用公式解决空间内的距离问题，体现逻辑推理能力（难点） 新课导入 思考一下：如图，设点P是直线l外一定点，l0是直线l的单位方向向量，过点P作直线l的垂线，垂足为点P'，则垂线段PP'的长度就是点P到直线l的距离.如何求这个距离呢 按照前面的思路，若能求出垂线段PP'的方向向量，则可在直线l上任取一点A，求 在向量 方向上的投影向量的长度即可. 然而在空间中，求垂线段的方向向量较为困难. 但直线l的方向向量已知，所以可先求出 在l0方向上的投影数量， 新课学习 思考一下：如图，设点P是直线l外一定点，l0是直线l的单位方向向量，过点P作直线l的垂线，垂足为点P'，则垂线段PP'的长度就是点P到直线l的距离.如何求这个距离呢 然后在Rt△PP'A中运用勾股定理求得|PP'|即可. 在Rt△PP'A中， 于是，点P到直线l的距离为 新课学习 点到直线的距离的概念 若点P是直线l外一点，l0是直线l的单位方向向量，点A是直线l上任意给定的一点，则点P到直线l的距离为 新课学习 下面给出点到直线距离的一种推导方法： 如图，设点P是直线l外一定点，l0是直线l的单位方向向量，点A是直线l上任意给定的一点，如何在直线l上找到一点Q，使得|PQ|最小 对于直线l上任意一点Q，总存在实数λ，使得 于是 因此只需求λ的值，使得|PQ|最小即可.因为 所以 是关于λ的二次函数. 新课学习 下面给出点到直线距离的一种推导方法： 当 时， 最小， 最小值为 所以点P到直线l的距离为 利用向量投影求解距离主要是运用距离的几何属性，而上述利用距离的最小性求解则主要是运用代数方法. 新课学习 例15：如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A'B'C'D'，AB=1，BC=2，AA=3. 用向量的方法求点B到直线A'C的距离. 依题意有A(0,0,3)，C(1,2,0)，B(1,0,0). 所以 在 方向上的投影数量为 所以点B到直线A'C的距离为 相互平行的两条直线间的距离可以转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离 新课学习 用向量法求点到直线的距离的一般步骤： 1.求直线的方向向量. 2.计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度. 3.利用勾股定理求解.另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化. 新课学习 思考一下：如何求两个异面直线间的距离？ 设直线a,b异面,向量a,b分别为它们的一个方向向量，如何求出这两条异面直线间的距离呢 如图,过直线a上任意一点A作b'//b，过直线b上任意一点B作a'//a，则a∩b'=A，a'∩b=B，于是a与b'，a与b均可确定一个平面，依次记作α,β. α n b a A β b a' B 由立体几何的知识可以证明:平面α,β均由直线a,b唯一确定，与点A，B的位置无关，且α//β. 新课学习 于是,异面直线a,b的距离就转化为平行平面α,β的距离，故只需先求出这两个平行平面的法向量,再求 在此法向量上的投影向量的长度即可. 思考一下：如何求两个平面的法向量呢？ 设n是平行平面α,β的一个法向量，显然有n⊥a,n⊥b. 因为向量a,b不共线,所以满足这个条件的所有向量都平行.也就是说,只需找到与向量a,b均垂直的向量即可. 新课学习 异面直线间的距离 如图，设点A,B分别是异面直线a,b上任意一点向量a,b分别是直线a,b的方向向量,向量n是与向量a,b均垂直的向量,则异面直线a,b的距离为 β b B A a n 新课学习 练一练：如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点. (1)求点B到直线AC1的距离； 以D1为原点，D1A1 ，D1C1 ，D1D 所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如题图所示的空间直角坐标系，则 A(1,0,1),B( ... ...
