(课件网) 拓 视 野 对勾函数的图象和性质 学习了幂函数的图象，类比实数的加、减、乘、除运算，我们对幂 函数也进行了相关运算，得到了新的函数 f （ x ）＝ x ＋ ，利用计算 机软件，我们绘制出它的图象，如图. 【例】 参考幂函数的性质，探究函数 f （ x ）＝ x ＋ 的定义域、值 域、奇偶性、单调性等性质. 解：（1）定义域：∵ x ≠0， ∴函数 f （ x ）＝ x ＋ 的定义域为{ x ｜ x ≠0}； （2）函数 f （ x ）＝ x ＋ 的值域为（－∞，－2]∪[2，＋∞）； （3）奇偶性：∵ f （－ x ）＝－ x － ＝－（ x ＋ ）＝－ f （ x ）， ∴函数 f （ x ）＝ x ＋ 为奇函数； （4）单调性：由函数 f （ x ）＝ x ＋ 的图象可知， 函数 f （ x ）＝ x ＋ 在（－∞，－1），（1，＋∞）上单调递增，在 （－1，0），（0，1）上单调递减. 【迁移应用】 试探究函数 f （ x ）＝ x ＋ （ a ＜0）的定义域、值域、奇偶性、单 调性，并画出它的简图. 解：（1）定义域：{ x ｜ x ≠0}； （2）值域：R； （3）奇偶性：奇函数； （4）函数 f （ x ）在区间（－∞，0），（0，＋∞）上单调递增. 证明：任取 x1， x2∈（0，＋∞），且 x1＜ x2， 则 f （ x1）－ f （ x2）＝ x1＋ －（ x2＋ ） ＝（ x1－ x2）（1－ ）， 因为0＜ x1＜ x2，所以 x1－ x2＜0， 又 a ＜0，所以1－ ＞0，所以 f （ x1）－ f （ x2）＜0，即 f （ x1）＜ f （ x2）， 所以函数 f （ x ）在区间（0，＋∞）上单调递增； 同理可证，函数 f （ x ）在区间（－∞，0）上单调递增. 其简图如图所示. 知能演练·扣课标 课后巩固 核心素养落地 1. 下列函数为幂函数的是（ ） A. y ＝2 x4 B. y ＝2 x3－1 C. y ＝ D. y ＝ x2 解析： 结合幂函数的特征可知D正确.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2. 若 f （ x ）＝ ，则函数 f （4 x －3）的定义域为（ ） A. R B. （－∞， ） C. ［ ，＋∞） D. （ ，＋∞） 解析： 易知 f （ x ）＝ 的定义域为（0，＋∞），则4 x －3∈ （0，＋∞），即 x ∈（ ，＋∞），故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3. 函数 f （ x ）＝ xa ＋ b ，不论 a 为何值， f （ x ）的图象均过点（ m ， 0），则实数 b 的值为（ ） A. －1 B. 1 C. 2 D. 3 解析： ∵幂函数 y ＝ xa 过定点（1，1），∴ f （ x ）＝ xa ＋ b 过 定点（1，1＋ b ），结合已知条件可知1＋ b ＝0，则 b ＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4. 如图所示，曲线 C1和 C2分别是函数 y ＝ xm 和 y ＝ xn 在第一象限内的 图象，则下列结论正确的是（ ） A. n ＜ m ＜0 B. m ＜ n ＜0 C. n ＞ m ＞0 D. m ＞ n ＞0 解析： 由题中图象可知，两函数在第一象限内单调递减，故 m ＜0， n ＜0.由幂函数图象的特点知 n ＜ m ，故 n ＜ m ＜0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5. （多选）已知α∈{－1，1，2，3}，则使函数 y ＝ xα的值域为R， 且为奇函数的所有α的值为（ ） A. 1 B. －1 C. 3 D. 2 解析： 当α＝－1时， y ＝ x－1＝ ，为奇函数，但值域为{ y ｜ y ≠0}，不满足条件.当α＝1时， y ＝ x 为奇函数，值域为R，满足 条件.当α＝2时， y ＝ x2为偶函数，值域为{ y ｜ y ≥0}，不满足条 件.当α＝3时， y ＝ x3为奇函数，值域为R，满足条件.故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6. （多选）已知幂函数 f （ x ）的图象经过点（27， ），则幂函数 f （ x ）具有的性质是（ ） A. 在其定义域上为增函数 B. 在（0，＋∞）上单调递减 C. 奇函数 D. 定义域为R 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析： 设幂函数 f （ x ... ...
