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课件网) 第七章 三角函数 7.3.1 三角函数的周期性 苏教版2019必修第一册·高一 学习目标 教学重点：理解周期函数的定义，掌握正（余）弦、正切函数的最小正周期； 教学难点：理解周期函数“任意性”的要求，判断复杂三角函数的最小正周期； 通过实例抽象周期函数定义，理解核心要素并准确表述。 能求正余弦正切及简单三角函数的周期、最小正周期。 体会数形结合思想，提升从函数图像提炼性质的能力。 教学目标 学科素养 数学抽象：从三角函数图像、实际周期现象抽象周期函数定义； 逻辑推理：推导三角函数周期结合定义严谨论证，培养推理逻辑； 直观想象：通过函数图像观察周期性，借助几何直观分析周期特征. 新知引入 自然界中存在大量“周而复始”的现象，比如“潮涨潮落”“花开花谢”“日出日落”等．而三角函数是刻画圆周运动的数学模型，那么如何刻画这种“周而复始”的现象？ 新知引入 问题1：观察下列图象，这些图象具有怎样的共同规律？ 周期函数：描述现实世界“周而复始”与“因果关系” 的一种数学模型. 问题2：根据三角函数的诱导公式，三角函数如何反映周期现象？ 问题探究 问题2：根据三角函数的诱导公式，三角函数如何反映周期现象？ x 6 y o - -1 2 3 4 5 -2 -3 -4 1 y=cos x,x∈R x 6 y o - -1 2 3 4 5 -2 -3 -4 1 y=sin x,x∈R 正弦曲线 余弦曲线 问题探究 x 6 y o - -1 2 3 4 5 -2 -3 -4 1 y=sin x,x∈R 正弦曲线 正弦函数值具有“周而复始”的变化规律； 图象:每隔2 ,图象重复出现. 公式:sin ( +2 )=sin . 增减2 的整数倍,函数值相等. 问题3：如何用数学语言刻画正弦函数的周期性？ 若记 f(x)=sin x，则对于任意，都有 设函数y = f(x)的定义域为A． 如果存在一个非零的常数T，使得对于任意的，都有，并且f(x + T) = f(x), 那么函数f(x)就叫作周期函数（periodic function），非零常数T叫作这个函数的周期（period）． 思考1：如果f(x)的周期是2，请你写出一个等式. f(x + 2) = f(x) 思考2：如正弦函数y=sinx的周期是多少？它是唯一的吗？为什么？ 新知呈现 问题4：有没有更好的方法描述正弦函数y=sinx的周期呢？ 周期函数的周期不唯一. x 6 y o - -1 2 3 4 5 -2 -3 -4 1 y=sin x,x∈R 最小值？ 思考： 的一个周期吗？ 不是. 不恒成立 问题探究 新知呈现 最小正周期： 对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么，这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期． （今后不加特殊说明，周期一般都是指函数的最小正周期）． 若 ( )的最小正周期为 ,则 ( )的周期可为 ( ∈ ) 追问：正弦函数，余弦函数，正切函数的最小正周期分别是？ ； 问题探究 问题5：y = 3是否是周期函数？周期为多少？有最小正周期吗？ 对于函数f(x) = 3，则对任意，，都有f(x + T) = f(x) = 3，任一非零实数T都是周期，但没有最小正周期。 并不是每一个周期函数都有最小正周期 1 2 3 t/s h/mm o 10 50 20 例题1：若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的函数关系如图所示： (1)求该函数的周期; (2)求t=10s时钟摆的高度． 解 （1）由图象可知，该函数的周期为1.5 s． （2）设h = f(t)，由函数f(t)的周期为1.5 s，可知 f(10) = f(1 + 6×1.5) = f(1) = 20． 所以t = 10 s 时钟摆的高度为20 mm． 典例精讲 典例精讲 例题2：求下列函数的周期： (1) 的周期为2 (2)设的周期为 ,则 新知呈现 问题6：这些函数的周期与解析式中的哪些量有关？ 的周期: 函数（其中为常数，且）的周期为，函数（其中为常数，且）的周期为． 变式训练 典例精讲 变式1：设函数 ( )是 上以2为最小正周期的周期函数，且则 (法1)结合图象知 (法2) 反思总结 问题7：这节课我们主要学习了 ... ...
