2.2 基本不等式（2课时打包）（含解析）

第2课时　基本不等式的应用 课时作业 (满分:100分) 基础练 1.已知一个直角三角形的斜边长为8,则其面积的最大值是(　　) [A]12 [B]14 [C]16 [D]18 【答案】 C 【解析】 设直角三角形的两条直角边分别为a,b,则a2+b2=64,直角三角形的面积为ab≤·==16,当且仅当a=b=4时,等号成立.故选C. 2.已知a>1>c,则与的大小关系是(　　) [A]≥ [B]≤ [C]> [D]< 【答案】 B 【解析】 因为a>1>c,所以a-1>0,1-c>0.所以=≤=,当且仅当a-1=1-c,即a+c=2时,等号成立.所以≤.故选B. 3.某生物制药公司为了节约成本开支,引入了一批新型生物污水处理器,通过费用开支的记录得知其月处理成本y(单位:元)与月处理量x(单位:t)满足函数关系式y=2x2-180x+ 20 000.则当每吨的平均处理成本最低时的月处理量为(　　) [A]80 t [B]100 t [C]120 t [D]150 t 【答案】 B 【解析】 依题意,每吨的平均处理成本为=2(x+)-180≥2×2-180=220,当且仅当x=,即x=100时,等号成立,所以当月处理量为100 t时,可以使每吨的平均处理成本最低.故选B. 4.已知a>0,b>0,则下列不等式不成立的是(　　) [A]a+b+≥2 [B](a+b)(+)≥4 [C]≥2 [D]> 【答案】 D 【解析】 对于A,a+b+≥2+≥2=2,当且仅当2=且a=b, 即a=b=时,等号成立,A正确; 对于B,(a+b)(+)=1+1++≥2+2=4,当且仅当=,即a=b时,等号成立,B正确; 对于C,因为a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时,等号成立),所以≥=2,C正确; 对于D,若>成立,则>1,即a+b<2,但a+b≥2,D错误.故选D. 5.某工厂生产某种产品,第一年的产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x(a,b,x均大于零),则(　　) [A]x=　 [B]x≤ [C]x>　 [D]x≥ 【答案】 B 【解析】 由题意得,A(1+a)(1+b)=A(1+x)2,则(1+a)(1+b)=(1+x)2,因为(1+a)(1+b)≤()2,所以1+x≤=1+,所以x≤,当且仅当a=b时,等号成立.故选B. 6.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10 g黄金,售货员先将5 g的砝码放在天平左盘中,取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡;再将5 g的砝码放在天平右盘中,再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡;最后将两次称得的黄金交给顾客.设顾客购得的黄金实际克数是t,则(　　) [A]t>10 [B]t≥10 [C]010,所以t>10.故选A. 7.(5分)西周数学家商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例,其中“弦”指的是直角三角形的斜边.现将两个全等的直角三角形拼接成一个矩形,若三角形的“弦”的长度为2,则该矩形周长的最大值为　　　　. 【答案】 8 【解析】 设矩形的一组邻边长为a,b,则该矩形的周长为2(a+b),且a2+b2=8. 法一　a2+b2=(a+b)2-2ab≥(a+b)2-2()2=(a+b)2,即a+b≤=4, 当且仅当a=b=2时,等号成立,所以2(a+b)≤8,即该矩形周长的最大值为8. 法二　≤=2,当且仅当a=b=2时,等号成立,所以2(a+b)≤8, 即该矩形周长的最大值为8. 8.(5分)已知对任意x>a,不等式2x+≥5恒成立,则实数a的最小值为　　　　. 【答案】 【解析】 由x>a,可得x-a>0,又由2x+=2(x-a)++2a≥2·+2a=4+2a,当且仅当2(x-a)=,即x=a+1时,等号成立,因为对任意x>a,不等式2x+≥5恒成立,所以4+2a≥5,解得a≥,所以实数a的最小值为. 9.(14分)某厂要建一个长方体形状的露天蓄水池,其蓄水量为200 m3,高为x m,底面的一条边长为5 m,施工方给的报价为四个侧面造价100元/m2,底面造价80元/m2. (1)设此蓄水池的总造价为y元,求y关于x的函数关系式; (2)如果你是施工方,请帮该厂设计一个总造价最低的方案,并给出具体的数据. 【解】 (1)长方体蓄水池的底面面积为 m2,长方体底面的另 ... ...