4.5.1 函数的零点与方程的解 课时作业 基础练 1.若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线,则下列说法正确的有( ) [A]若f(a)f(b)>0,则不存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0 [B]若f(a)f(b)<0,则存在且只存在一个实数c∈(a,b),使得f(c)=0 [C]若f(a)f(b)>0,则有可能存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0 [D]若f(a)f(b)<0,则有可能不存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0 【答案】 C 【解析】 A项,当函数f(x)=x2时,f(-1)f(1)=1>0,存在0∈(-1,1),使得f(0)=0,故A错误; B项,当函数f(x)=x(x-1)(x-2)时,f(-1)f(3)=-6×6=-36<0,存在0∈(-1,3),1∈(-1,3),2∈(-1,3)使得f(0)=0,f(1)=0,f(2)=0,故B错误; C项,由A的分析可知C正确; D项,由函数零点存在定理知若f(a)f(b)<0,则存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0,故D错误.故选C. 2.已知函数f(x)=2-,在下列区间中,一定包含f(x)零点的区间是( ) [A](,) [B](,1) [C](1,2) [D](2,4) 【答案】 B 【解析】 因为f()=2-=-3<0,f()=2-=-2<0,f(1)=2-=1>0, 又函数在(0,+∞)上单调递增,所以f()·f(1)<0,所以函数f(x)在(,1)上存在零点.故选B. 3.函数f(x)=的零点个数为( ) [A]1 [B]2 [C]3 [D]4 【答案】 C 【解析】 当x≤0时,由x5-x3=0,解得x=0或 x=-1或x=1(舍去);当x>0时,令g(x)=ln x-,由y= ln x和y=-均在(0,+∞)上单调递增可得,g(x)=ln x-在(0,+∞)上单调递增. 又g(1)=ln 1-1=-1<0,g(e)=ln e-=1->0,根据函数零点存在定理可得,g(x)在(1,e)上存在一个零点, 根据函数的单调性可知,g(x)=ln x-在(0,+∞)上存在唯一的零点. 综上所述,f(x)的零点个数为3.故选C. 4.已知实数a0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,由函数零点存在定理知,f(x)的零点分别位于区间(a,b)和(b,c)内,故方程(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0的两个实根分别属于区间(a,b)和(b,c).故选C. 5.(多选)若函数f(x)的唯一零点同时在区间(0,8),(0,4),(0,2)内,则下列说法不正确的是( ) [A]函数f(x)在区间(0,1)内有零点 [B]函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点 [C]函数f(x)在区间(1,8)内无零点 [D]函数f(x)在区间[2,8)内无零点 【答案】 ABC 【解析】 因为函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,8),(0,4),(0,2)内,所以函数f(x)唯一的一个零点在区间(0,2)内,可知函数f(x)在区间[2,8)内无零点.故A,B,C不正确,D正确.故选ABC. 6.(多选)下列函数在区间[-1,3]上存在唯一的零点的是( ) [A]f(x)=x2-2x-8 [B]f(x)=-2 [C]f(x)=2x-1-1 [D]f(x)=1-ln(x+2) 【答案】 BCD 【解析】 因为f(x)=x2-2x-8=0的解为x=-2或x=4,所以f(x)在区间[-1,3]上没有零点,故A错误; 因为f(x)=-2在[0,+∞)上单调递增,且f(0)=-2<0,f(3)=-2>0,所以f(x)在区间[-1,3]上存在唯一的零点,故B正确; 由f(x)=2x-1-1=0得x=1∈[-1,3],故C正确; 因为f(x)=1-ln(x+2)在(-2,+∞)上单调递减,且f(-1)=1>0,f(3)=1-ln 5<0,所以f(x)在区间[-1,3]上存在唯一的零点,故D正确.故选BCD. 7.(5分)已知f(x)为奇函数,且该函数有三个零点,则这三个零点之和等于 . 【答案】 0 【解析】 因为奇函数的图象关于原点对称,所以若f(x) 有三个零点,则其和必为0. 8.(5分)已知函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3,则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是 . 【答案】 -,- 【解析】 由题意知,方程x2-ax-b=0的两根分别为2,3,所以即a=5,b=-6, 所以方程bx2-ax-1=-6x2-5x-1=0的根为-,-,即为函数g(x)的零点. 9.(12分)已知函数f(x)=x2+ax+b的零点是-1和2,若函数g(x)=ax3+bx+4的零点所在的区间为 ... ...
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