5.3 诱导公式（3课时打包）（含解析）

第3课时　诱导公式的综合应用 课时作业 基础练 1.计算sin(3π-)-cos(+)+tan(-)等于(　　) [A]+1 [B]1 [C]-1 [D]-+1 【答案】 A 【解析】 原式=sin(π-)-cos(+)+tan(-)=sin +sin +tan =+1.故选A. 2.已知角α和角β的顶点与原点重合,始边与x轴正半轴重合,终边关于y轴对称,则下列关系正确的是(　　) [A]sin α=sin β [B]cos α=cos β [C]sin α=cos β [D]cos α=sin β 【答案】 A 【解析】 由题意,角α和β的终边关于y轴对称,则α+β=(2k+1)π(k∈Z),即α=(2k+1)π-β(k∈Z),所以sin α=sin[(2k+1)π-β]=sin(π-β)=sin β(k∈Z),cos α=cos[(2k+1)π-β]=cos(π-β)=-cos β(k∈Z),故A正确,B,C,D均错误.故选A. 3.若sin(α+β)=1,则tan(2α+β)+tan β等于(　　) [A]0 [B]1 [C]-1 [D]2 【答案】 A 【解析】 法一　取α=,β=0,则满足sin(α+β)=1,此时tan(π+0)+tan 0=0+0=0.故选A. 法二　由sin(α+β)=1,得α+β=2kπ+(k∈Z),则α=2kπ+-β(k∈Z),因此tan(2α+β)+tan β= tan[2(2kπ+-β)+β]+tan β=tan(4kπ+π-2β+β)+tan β=tan(π-β)+tan β=-tan β+tan β=0.故选A. 4.已知f(sin x)=cos 3x(x为锐角),则f(cos 10°)的值为(　　) [A]- [B] [C]- [D] 【答案】 A 【解析】 法一　f(cos 10°)=f(sin 80°)=cos 240°=-.故选A. 法二　用-x替换f(sin x)=cos 3x中的x,则f(cos x)=f(sin(-x))=cos[3(-x)]=-sin 3x, 所以f(cos 10°)=-sin 30°=-.故选A. 5.(多选)在△ABC中,下列等式一定成立的是(　　) [A]sin(A+C)=sin B [B]cos(B+C)=cos A [C]sin =cos [D]sin2+cos2=1 【答案】 AC 【解析】 A选项,sin(A+C)=sin(π-B)=sin B,A正确;B选项,cos(B+C)=cos(π-A)=-cos A,B错误;C选项,sin =sin(-)=cos ,C正确;D选项,因为cos2=cos2(-)=sin2,故sin2+cos2=2sin2不一定等于1,D错误.故选AC. 6.(多选)已知sin(+α)=,则角α的终边可能在(　　) [A]第一象限 [B]第二象限 [C]第三象限 [D]x轴的非正半轴上 【答案】 BCD 【解析】 原等式可化为-cos α=,所以-cos α=,所以|cos α|=-cos α,所以cos α≤0,所以α的终边在第二、第三象限或在x轴的非正半轴上.故选BCD. 7.(5分)已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴正半轴重合,终边在直线x+y=0上,则=　　　　. 【答案】 -1 【解析】 sin(2π-α)=-sin α,cos(-α)=cos(-α)=sin α,sin2(α+)=cos2α,故原式==-tan2α,由题得点M(1,-1)在角α的终边上,故tan α==-1,故原式=-1. 8.(5分)已知α为锐角,且2tan(π-α)-3cos(+β)+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0,则sin α=　　　　. 【答案】 【解析】 由2tan(π-α)-3cos(+β)+5=0, 可得-2tan α+3sin β+5=0, 即2tan α-3sin β-5=0,① 由tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0, 可得tan α-6sin β-1=0,② 由①×2-②得3tan α-9=0,所以tan α=3, 即=3.因为sin2α+cos2α=1,所以sin2α=,又α为锐角,所以sin α=. 9.(13分)求证:sin[nπ+(-1)n·]=cos[2nπ+(-1)n·](n∈Z). 【证明】 (1)当n=2k,k∈Z时, 左边=sin[2kπ+(-1)2k·]=sin =, 右边=cos[4kπ+(-1)2k·]=cos =, 即左边=右边; (2)当n=2k+1,k∈Z时, 左边=sin[2kπ+π+(-1)2k+1·]=sin(π-)=sin =, 右边=cos[2(2k+1)π+(-1)2k+1·]=cos(-)=cos =, 即左边=右边. 综上可得sin[nπ+(-1)n·]=cos[2nπ+(-1)n·](n∈Z),故命题得证. 10.(14分)在△ABC中,若sin(2π-A)=-sin(π-B),cos A=-cos(π-B),求△ABC的三个内角. 【解】 由题意得sin A=sin B,cos A=cos B,两边平方相加得2cos2A=1,则cos A=±,又A∈(0,π),所以A=或. 当A=时,cos B=-<0,所以B∈(,π),此时A,B均为钝角,不符合题意,舍去.所以A=,cos B=,所以B=,所以C=. 综上所述,A=,B=,C=. 强化练 11.(多选)已知函数f(x)=,且f(α)=2,α∈(0,π),则下列结论正确的是(　 ... ...