2 数学建模的主要步骤 知识点 数学建模的一般步骤 超市卖某一品牌的卫生纸，这种卫生纸分“有芯”和“无芯”两种纸卷，如图.两种纸具有同样的材质和厚度，纸卷的高度和单价也一样， 若预购买这种卫生纸，但不知道哪种纸卷更合算，如果没有带尺子，用什么办法可以确定合算的纸卷？为什么？ 题型一 分蛋糕问题 【例1】 问题提出 妹妹小英过生日，妈妈给她做了一块边界形状任意的蛋糕（如图所示），哥哥小明也想吃，小英指着蛋糕上一点对哥哥说，你能过这一点切一刀，让切下的两块蛋糕面积相等，便把其中的一块送给你.如图①所示. 模型假设 （1）假设蛋糕是平放在桌上的，即蛋糕表面与水平面是平行的； （2）假设蛋糕的质地均匀，即蛋糕密度相同，形状为不规则柱形. 模型建立 已知：平面上一条没有交叉点的封闭曲线（无论什么形状）.P是曲线所围成的图形上一点.（如图②） 求证：存在一条过P的直线L，将这个图形的面积二等分. 模型求解 过P点任作一直线L，L将曲线所围图形分为两部分，其面积分别记为S1，S2.如果S1＝S2，则L即是所要找的直线.现在，我们考虑S1≠S2的情形： 不失一般性，设S1＞S2，首先，建立如图③的坐标轴：x轴.设直线L与x轴的初始交角为α0. 以点P为旋转中心，将直线L按逆时针方向旋转，则面积S1，S2就连续地依赖于角α的变化.即S1＝S1（α），S2＝S2（α）都是关于α的连续函数. 令f（α）＝S1（α）－S2（α），则函数f（α）是闭区间[α0，α0＋π]上的连续函数，并且f（α0）＝S1（α0）－S2（α0）＞0. f（α0＋π）＝S1（α0＋π）－S2（α0＋π）＝S2（α0）－S1（α0）＜0. 根据零点定理，存在一点c∈（α0，α0＋π），使得f（c）＝S1（c）－S2（c）＝0. 即存在一点c∈（α0，α0＋π）使得S1（c）＝S2（c）. 模型结论 通过上述几何问题的证明，我们得知：对于蛋糕上的任意一个指定点，一定存在过这个指定点的一条直线L，使得沿L切这块蛋糕能将这块蛋糕切成面积相等的两块. 模型评价 本模型只从理论上证明了二等分蛋糕的可行性.但是，怎样将一个蛋糕具体二等分，这个问题并没有解决. 题型二 搭砖块问题 【例2】 【问题】 将形状质量相同的砖块一一向右往外叠放，欲尽可能地延伸到远方，问最远可以延伸多大距离？ 模型准备 这个问题涉及重心的概念，关于重心的结果有：设xOy平面上有n个质点，它们的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），对应的质量分别为m1，m2，…，mn，则该质点系的重心坐标（，）满足的关系式为＝，＝. 模型假设 （1）所有砖块的长度和重量均为一个单位； （2）参与叠放的砖块有足够多； （3）每块砖块的密度都是均匀的，密度系数相同； （4）最底层的砖块可以完全水平且平稳地放在地面上. 模型构成 （1）考虑两块砖块的叠放情况： 对只有两块砖块的叠放，注意到此时叠放后的砖块平衡主要取决于上面的砖块，而下面的砖块只起到支撑作用，假设在叠放平衡的前提下，上面砖块超过下面砖块右端的最大前伸距离x，选择下面砖块的最右端为坐标原点，建立如图所示的坐标系，因为砖块是均匀的，所以它的重心在其中心位置，且其质量可以认为是集中在重心的，于是每个砖块可以认为是质量为1且其坐标在重心位置的质点，因为下面的砖块总是稳定的，要想上面的砖块与下面的砖块离开最大的位移且不掉下来，则上面的砖块重心应该恰好在底下砖块最右端位置，因此可以得到上面砖块在位移最大且不掉下来的重心水平坐标为x＝（因为砖块的长度是1），于是上面的砖块可以向右前伸的最大距离为. （2）考虑n＋1块砖块的叠放情况： 两块砖块的情况解决了，如果再加一块砖块，叠放情况如何呢？如果增加的砖块放在原来两块砖块的上边，那么此砖块是不能再向右前伸了（为什么），除 ... ...
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