第二章 3 从速度的倍数到向量的数乘（课件 学案 练习）高中数学 北师大版（2019）必修 第二册

§3　从速度的倍数到向量的数乘 3.1　向量的数乘运算 3.2　向量的数乘与向量共线的关系 1.点C在线段AB上，且＝，则＝（　　） A.　　　　　　　 B. C.－ D.－ 2.－＝（　　） A.a－b＋2c　　 B.5a－b＋2c C.a＋b＋2c　　 D.5a＋b 3.在四边形ABCD中，若＝－，则此四边形是（　　） A.平行四边形 B.菱形 C.梯形 D.矩形 4.已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋（2－m）b共线，则实数m的值为（　　） A.－1或3 B. C.－1或4 D.3或4 5.设△ABC中BC边上的中线为AD，点O满足＝2，则＝（　　） A.－＋ B.－ C.－ D.－＋ 6.（多选）已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为（　　） A.m（a－b）＝ma－mb B.（m－n）a＝ma－na C.若ma＝mb，则a＝b D.若ma＝na，则m＝n 7.在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝　　　　. 8.若3（x＋a）＋2（x－2a）－4（x－a＋b）＝0，则x＝　　　　. 9.已知在△ABC中，点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝　　　　. 10.已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足＝e＋2f，＝－4e－f，＝－5e－3f. （1）用e，f表示； （2）证明四边形ABCD为梯形. 11.中国的国旗和国徽上都有五角星，正五角星与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且｜｜＝｜｜，则－＝（　　） A. B. C. D. 12.（多选）已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是（　　） A.2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e B.存在不相等的两个实数λ，μ，使λa－μb＝0 C.xa＋yb＝0（其中实数x，y满足x＋y＝0） D.已知梯形ABCD，其中＝a，＝b 13.在 ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝　　　　（用a，b表示）. 14.证明：若向量，，的终点A，B，C共线，则存在实数λ，μ，且λ＋μ＝1，使得＝λ＋μ，反之也成立. 15.O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足＝＋λ（＋），λ∈（0，＋∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（　　） A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 16.设P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点. （1）试用向量法证明：PQ∥AB； （2）若AB＝3CD，求PQ∶AB的值. 3.1　向量的数乘运算 3.2　向量的数乘与向量共线的关系 1.D　∵＝，∴＝－，∴＝－. 2.A　－＝（3a－2a）＋＋（c＋c）＝a－b＋2c.故选A. 3.C　∵＝－，∴AB∥CD且｜｜＝｜｜，∴四边形ABCD是梯形. 4.A　因为向量ma－3b与a＋（2－m）b共线，且向量a，b是两个不共线的向量，所以ma－3b＝λa＋（2－m）λb，所以解得m＝－1或m＝3，故选A. 5.A　如图所示：∵D为BC的中点，∴＝＋，∵＝2，∴＝＝＋，∴＝－＝－＝－＋，故选A. 6.AB　对于A，根据向量数乘的运算律可得m（a－b）＝ma－mb，故A正确；对于B，根据向量数乘的运算律可得（m－n）a＝ma－na，故B正确；对于C，由ma＝mb可得m（a－b）＝0，当m＝0时，该等式恒成立，不能推出a＝b，故C错误；对于D，由ma＝na可得（m－n）a＝0，当a＝0时，该等式也成立，不能推出m＝n.故D错误.故选A、B. 7.2　解析：∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，∴＋＝＝2，∴λ＝2. 8.4b－3a　解析：由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，所以x＋3a－4b＝0，所以x＝4b－3a. 9.3　解析：∵＋＋＝0，∴＋＝－， 又由＋＝m得（＋）＋（＋）＝m，所以（＋）－2＝m，即－3＝m＝－m，∴m＝3. 10.解：（1）由题意，有＝＋＋＝（e＋2f）＋（－4e－f）＋（－5e－3f）＝（1－4－5）e＋（2－1－3）f＝－8e－2f. （2）证明：由（1）知＝－8e－2f＝2（－4e－f）＝2，即＝2. 根据向量的数乘的定义，与同方向，且的长度为的长度的2倍，所以在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD为梯 ... ...