第二章 5.1　向量的数量积（课件 学案 练习）高中数学 北师大版（2019）必修 第二册

5.1　向量的数量积 1.若向量a，b满足｜b｜＝2，a为单位向量，且a与b夹角θ＝，则b在a上的投影向量为（　　） A.a　　　　　　　　　 B.－a C.2a D.－2a 2.已知△ABC中，·＜0，则△ABC的形状为（　　） A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰直角三角形 3.已知a，b方向相反，且｜a｜＝3，｜b｜＝7，则｜2a－b｜＝（　　） A.1 B.13 C.2 D.3 4.若非零向量a，b满足｜a｜＝｜b｜，（2a＋b）·b＝0，则a与b的夹角为（　　） A.30° B.60° C.120° D.150° 5.（多选）对任意平面向量a，b，c，下列说法正确的是（　　） A.若a·b＝b·c，则a＝c B.若a＝b，b＝c，则a＝c C.｜a｜－｜b｜＜｜a｜＋｜b｜ D.｜a·b｜≤｜a｜｜b｜ 6.（多选）已知a，b，c是三个向量，在下列命题中真命题是（　　） A.a·b＝b·a B.a·（b＋c）＝a·b＋a·c C.（a·b）·c＝a·（b·c） D.若a·b＝a·c，则b＝c 7.已知a⊥b，（3a＋2b）⊥（ka－b），若｜a｜＝2，｜b｜＝3，则实数k的值为　　　　. 8.已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为，则实数λ＝　　　　. 9.已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝.若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则｜b｜＝　　　　. 10.已知向量a，b的夹角为，｜a｜＝1，｜b｜＝2. （1）求a·b的值； （2）若2a－b和ta＋b垂直，求实数t的值. 11.已知｜a｜＝2｜b｜≠0，且关于x的方程x2＋｜a｜x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是（　　） A. B. C. D. 12.（多选）下列说法中正确的是（　　） A.若非零向量a，b满足｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜，则a与a＋b的夹角为30° B.若a·b＞0，则a，b的夹角为锐角 C.若·＝·＋·＋·，则△ABC一定是直角三角形 D.△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若＋＝2，且｜｜＝｜｜，则向量在向量方向上的投影数量为 13.如图，已知圆O为△ABC的外接圆，AB＝6，BC＝7，CA＝8，则·＋·＋·＝　　　　. 14.如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°. （1）若点D是线段OB靠近点O的四分之一分点，用，表示向量； （2）求·的取值范围. 15.在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，则｜2＋｜的值为　　　　；（＋）·的最小值为　　　　. 16.（1）如图，已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC和DB的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？ （2）借助上述数学模型，对任意非零向量a，b，你能否证明a·b＝[（a＋b）2－（a－b）2]（极化恒等式）. 5.1　向量的数量积 1.B　｜b｜cos θa＝2×cos a＝2×a＝－a，即b在a上的投影向量为－a. 2.A　∵·＝｜｜·｜｜·cos B＜0，∴cos B＜0，又∵B为△ABC的内角.∴＜B＜π.∴△ABC为钝角三角形. 3.B　∵｜2a－b｜2＝（2a－b）2＝4a2－4a·b＋b2＝4×32－4×3×7×cos 180°＋72＝169，∴｜2a－b｜＝13. 4.C　由（2a＋b）·b＝0，得2a·b＋b2＝0，设a与b的夹角为θ，∴2｜a｜｜b｜cos θ＋｜b｜2＝0，∴cos θ＝－＝－＝－，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°. 5.BD　对于A，若b＝0，则a与c不一定相等，所以A不正确；由向量相等的充要条件，可知B正确；对于C，若b＝0，则不等式不成立，所以C不正确；｜a·b｜＝｜a｜｜b｜｜cos＜a，b＞｜≤｜a｜｜b｜，所以D正确.故选B、D. 6.AB　向量数量积公式满足交换律和分配律，所以A、B正确；（a·b）·c表示与向量c共线的向量，a·（b·c）表示与向量a共线的向量，两个向量不一定相等，故C不正确；a·b＝a·c a·（b－c）＝0，那么a＝0或b＝c或a⊥（b－c），故D不正确.故选A、B. 7.　解析：由已知a·b＝0，a2＝4，b2＝9，由（3a＋2b）·（ka－b）＝0 3ka2＋（2k－3）a·b－2b2＝0，∴12k－18＝0，∴ ... ...