2025-2026学年河南省新乡市高二上学期9月联考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知空间向量，，则在上的投影向量的模为( ) A. B. C. D. 2.已知、分别为直线、的方向向量不重合，分别为平面的法向量不重合，则下列说法中正确的是( ) A. B. C. D. 3.在空间直角坐标系中，已知点，若点与点关于平面对称，则( ) A. B. C. D. 4.“直线与直线平行”是“”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.如图，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，，分别为，的中点，是的中点，，则折后二面角的余弦值为( ) A. B. C. D. 6.已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则直线的方程为( ) A. 或 B. 或 C. D. 7.九章算术中将底面为直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”如图，已知在堑堵中，，，，，，则( ) A. B. C. D. 8.已知函数的图象经过点和点，直线经过点，且直线交线段于点，记的周长为，的周长为若，则( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.如图，已知四面体，点分别是的中点，下列说法正确的是( ) A. B. C. D. 10.给出下列命题，其中正确的命题是( ) A. 若，为单位向量，则 B. 若向量是向量的相反向量，则 C. 在正方体中， D. 若空间向量满足，则 11.已知正方体的棱长为，点，分别是的中点，点在正方体内部且满足，则下列说法正确的是( ) A. 与所成角的正弦值是 B. 点到平面的距离是 C. 平面与平面间的距离为 D. 点到直线的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.如图，已知三棱锥，为的重心，点，为，的中点，点分别在上，，若四点共面，则 ． 13.在平面直角坐标系中，过点作直线，分别与轴的正半轴，轴的正半轴交于点当直线的斜率为 时，的面积最小是坐标原点，最小面积是 ． 14.在正方体中，，动点满足当时， ；当时，的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 在平行六面体中，，，，，． 求； 求证：； 求的长． 16.本小题分 已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为． 求直线的方程； 若直线上任意一点，都满足，求直线的方程． 17.本小题分 如图，在四面体中，与都是等边三角形，，． 求证：； 若为的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 18.本小题分 如图，在四棱锥中，底面，且． 若点为上靠近点的三等分点，证明：平面； 若点为上一点不包含端点，从下面条件中选取两个作为已知，证明另一个成立． ；；直线与平面所成角的正弦值为． 注：如果选择多个组合分别解答，按第一个解答计分． 19.本小题分 如图，在三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，且，侧面为菱形，点在底面上的射影为的中点利用空间向量法求解下列问题． 求证：． 求直线与底面所成角大小． 求点到侧面的距离． 在线段上是否存在点，使得直线与侧面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.【详解】解：． 证明：因为， ， 所以． 解：因为， 所以， ． 所以，所以． 16.【详解】如图，由点在直线上，设，又， 则的中点在直线上， 所以，解得，所以． 设点关于直线对称的点为， 则有，解得，即． 显然在直线上，则直线的斜率， 则直线的方程为，整理得． 点到直线的距离． 因为点满足，所以点到直线的距离相等， 所以直线与直线平行，且直线到直线的距离等于点到直线的距离． 设，则，解得或， 所以直线的方程为或． 17.【详解】证明：取的中点，连接． 因为与都是等边三角形， ... ...
