2025-2026学年山东省德州市夏津第一中学高二上学期九月月考数学试卷（含答案）

2025-2026学年山东省德州市夏津第一中学高二上学期9月月考 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.四棱锥中，底面是平行四边形，点为棱的中点，若，则等于( ) A. B. C. D. 2.若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则( ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3.如图，在正方体中，平面与平面的夹角的正切值为( ) A. B. C. D. 4.在正方体中，下列说法错误的是( ) A. B. 与所成角为 C. 平面 D. 与平面所成角为 5.直线必过定点( ) A. B. C. D. 6.在棱长为的正方体中，直线到平面的距离是( ) A. B. C. D. 7.经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，求直线的斜率的取值范围是( ) A. B. C. D. 8.如图，已知正方体，空间中一点满足，且，当取最小值时，点位置记为点，则数量积的不同取值的个数为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.如图，在底面为正方形的四棱锥中，平面，，则下列说法正确的是( ) A. 异面直线与所成的角为 B. 直线与平面所成的角为 C. 平面与平面的夹角为 D. 点到面的距离为 10.已知直线过点，，则( ) A. 点在直线上 B. 直线的两点式方程为 C. 直线的一个方向向量的坐标为 D. 直线的截距式方程为 11.在直三棱柱中，，，，为的中点，则( ) A. B. 平面 C. 平面 D. 直线与所成角为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为 ． 13.如图，在正四棱柱中，底面边长为，直线与平面所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为 ． 14.如图，在正方体中，点为棱的中点，若为底面内一点不包含边界，且满足平面设直线与直线所成的角为，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式． 直线的一个方向向量为，且经过点； 过点且在两坐标轴上截距相等． 16.本小题分 在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且，求： 的长； 直线和所成角的余弦值． 17.本小题分 如图所示，正方体的棱长为，若是的中点， 求异面直线与所成角的余弦值； 求到平面的距离． 18.本小题分 四棱锥底面为菱形，底面，点在上，． 证明：； 求二面角的余弦值． 19.本小题分 如图，四棱锥中，底面为长方形，侧面是等边三角形，平面平面 若为棱的中点，为棱的中点，求证：平面 ，异面直线，夹角的余弦为 求棱的长度； 在棱上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.或 13. 14. 15.【详解】由直线的方向向量为可得直线斜率为， 由点斜式得直线方程为，即． 当直线截距不为时，设求直线方程为 代入得，所以直线方程为， 当直线截距为，即直线过原点时，直线方程为，化为一般式为， 综上直线的方程为或． 16.【详解】如图，连接，设，，， 依题意， 而， ， 所以． 连接，， 所以 ， 又，， 所以， 故直线和所成角的余弦值为． 17.【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、，、、、，，， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 设平面的法向量为，， 则，取，可得， 因为，则点到平面的距离为． 18.【详解】连接与交于点， 在菱形中，， 底面平面， 平面，， 平面， 平面； 取的中点，连接， 为中点，中，， 底面底面， 以为坐标原点，分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系， ，， 设， ，即，由此可求， 设平面，平面的法向量分别 ... ...