解三角形中的最值问题 引言：解三角形中的最值与范围问题是高中数学的一个重难点，它巧妙地将三角恒等变换、正弦余弦定理、函数与不等式知识结合在一起。为了更好的系统掌握，下面梳理了七类常见题型及核心解法，并配有精选例题。 题型总结：在开始研究具体问题前，可以先通过下表对七类主要问题及其常用解法有个整体印象： 问题类型 核心思路 常用方法 边长类范围与最值 将边的关系转化为角的关系，或直接利用边的不等关系 正弦定理 + 三角函数有界性；余弦定理 + 基本不等式 角度类范围与最值 利用三角形内角和为 π 消元，转化为三角函数求值域 三角恒等变换，辅助角公式，三角函数有界性 周长类范围与最值 将周长表示为边的和或角的函数 化为边长问题用基本不等式，或化为角度问题用三角函数 面积类范围与最值 将面积公式与正弦定理、余弦定理结合 面积公式 + 三角函数有界性；海伦公式 + 基本不等式 中线、高线类范围与最值 将中线或高线用边角表示，转化为边或角的问题 向量法或余弦定理表示中线，后续思路同上 外接圆、内切圆半径范围 将 R 或 r 用边和角表示，转化为边角问题 正弦定理 (R)，面积公式 (r) 向量类范围与最值 将向量运算转化为边角关系，或建立坐标系 向量模长、数量积的坐标运算或与余弦定理结合 题型一：边长类，向量类最值及范围问题 这类问题通常利用正弦定理将边化为角，再利用三角函数的有界性求解；或者利用余弦定理和基本不等式求解。 例一：在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 ；若的面积为，点G满足，则线段AG的最小值为 ． 【思路】利用和差角的正弦化简求得；利用三角形面积公式求出，再三角形重心的向量表示，数量积的运算律及基本不等式求出最小值. 【详解】在中，，整理得， 而，则，又，所以； 由的面积为，得，则，由点G满足，得是的重心，则，，当且仅当时取等号，所以线段AG的最小值为. 跟踪训练1：在中，设角所对的边分别是，且满足． (1)求角； (2)若，求面积的最大值： (3)求的取值范围． 【思路】（1）根据正弦定理，结合辅助角公式进行求解即可； （2）根据三角形面积公式，结合余弦定理以及基本不等式求解即可； （3）利用余弦定理和正弦定理边角互化将原式转化为，然后令，将原式化为：，最后结合二次函数性质求解值域. 【详解】（1）因为，根据正弦定理得：，且， 可得， 即，又因为，则， 可得，整理可得， 又，则，可得，解得. （2）由余弦定理得：，即， 可得，解得，当且仅当时，等号成立， 所以的面积为：，故面积的最大值为. （3）由余弦定理可得：，所以， 即，所以，根据正弦定理得： ，令，则， 可得，将原式化为：， 因为，则，可得，根据二次函数的图像性质得到， 当时，原式取得最小值，； 当时，原式取得最大值，； 故的取值范围为. 跟踪训练2：已知分别为三个内角的对边，且，. (1)求； (2)若为锐角三角形，且外接圆圆心为，求的取值范围； 【分析】（1）先对已知等式变形，得到，再用余弦定理求出的值，结合角的范围确定的大小． （2）先把转化为，因为是外心，得出与的值．用余弦定理求出，进而得到关于的表达式．再用正弦定理求出关于的表达式，根据角的范围确定的范围，最后得到的范围． 【详解】（1），即， 由余弦定理得，又，所以. （2）（ⅰ）由， 因为O为外接圆圆心，即外心， 所以，， 由余弦定理得，， 所以， 由正弦定理得，， 则， 由，解得， 所以，则，所以. 题型二：角度类最值及范围问题（包含利用边角转化求最值） 这类问题通常先确定一个角的范围，然后将所求量用这个角表示，利用三角函数性质求解。 例二：在中，内角的对边分别为的面积为，已知，且_____．在①，且，②这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答．（注 ... ...
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