(课件网) 第一课时 最值、范围及证明问题 目录 典型例题·精研析 01 知能演练·扣课标 02 典型例题·精研析 01 课堂互动 关键能力提升 题型一 最值问题 【例1】 已知抛物线 C ： y2＝4 x 的焦点为 F ，点 M 是抛物线 C 上的动 点，过点 F 的直线 l 交抛物线 C 于 P ， Q 两点，且直线 l ⊥ MF ，设直线 MF 与抛物线 C 的另一个交点为 K ，求 · 的最小值. 解：由题意知 F （1，0），直线 l 的斜率 k 存在且不为0， 设 l 的方程为 y ＝ k （ x －1）， 由可得 k2 x2－（2 k2＋4） x ＋ k2＝0. 设 P （ x1， y1）， Q （ x2， y2），则 x1＋ x2＝2＋ ， x1 x2＝1. 因为直线 l ⊥ MF ，所以直线 MF 的斜率为－ . 设 M （ x3， y3）， K （ x4， y4），同理可得 x3＋ x4＝2＋4 k2， x3 x4＝1. 故 · ＝（ ＋ ）·（ ＋ ）＝ · ＋ · ＋ · ＋ · ＝｜ ｜·｜ ｜＋｜ ｜·｜ ｜ ＝（ x1＋1）（ x2＋1）＋（ x3＋1）（ x4＋1） ＝ x1 x2＋ x1＋ x2＋1＋ x3 x4＋ x3＋ x4＋1 ＝8＋4 ≥8＋4×2 ＝16， 当且仅当 k2＝ ，即 k ＝±1时， · 取得最小值16. 通性通法 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要 有两种方法：一是几何方法，即通过利用圆锥曲线的定义、几何性质 以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数方法，即把要求 最值的几何量或代数表达式表示为某个（些）变量的函数（解析 式），然后利用函数方法、不等式方法等进行求解. 如图所示，点 A ， B 分别是椭圆 ＋ ＝1长轴的左、右端点，点 F 是 椭圆的右焦点，点 P （ ， ）在椭圆上，设 M 是椭圆长轴 AB 上的 一点，点 M 到直线 AP 的距离等于｜ MB ｜，求椭圆上的点到点 M 的距 离 d 的最小值. 【跟踪训练】 解：由已知可得点 A （－6，0），点 B （6，0），点 P . 直线 AP 的方程是 x － y ＋6＝0， 设点 M 的坐标是（ m ，0），则点 M 到直线 AP 的距离是 ， 于是 ＝｜ m －6｜， 又－6≤ m ≤6，解得 m ＝2. 由椭圆上的点（ x ， y ）到点 M 的距离为 d ， 得 d2＝（ x －2）2＋ y2＝ x2－4 x ＋4＋20－ x2 ＝ ＋15，－6≤ x ≤6， 由 f （ x ）＝ ＋15的图象可知， 当 x ＝ 时， d 取最小值，且最小值为 . 题型二 范围问题 【例2】 已知椭圆 C ： ＋ y2＝1，过点 M （4，0）的直线 l 交椭圆 于 A ， B 两个不同的点，且λ＝｜ MA ｜·｜ MB ｜，求λ的取值范围. 解：当直线 l 的斜率为0时，λ＝｜ MA ｜·｜ MB ｜＝12. 当直线 l 的斜率不为0时，设直线 l ： x ＝ my ＋4，点 A （ x1， y1）， B （ x2， y2）， 联立消去 x 得（ m2＋4） y2＋8 my ＋12＝0. 由Δ＝64 m2－48（ m2＋4）＞0，得 m2＞12，所以 y1 y2＝ . λ＝｜ MA ｜·｜ MB ｜＝ ｜ y1｜· ｜ y2｜ ＝（ m2＋1）｜ y1 y2｜＝ ＝12 . 由 m2＞12，得0＜ ＜ ，所以 ＜λ＜12. 综上可得 ＜λ≤12，即λ∈ . 通性通法 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的三个方面 （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式或其他不等关系构造不等 式，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是 建立两个参数之间的等量关系； （3）利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求 其值域，从而确定参数的取值范围. 【跟踪训练】 已知双曲线 － y2＝1，若过点 B （0，1）且与 x 轴不平行的 直线和双曲线相交于不同的两点 M ， N ，线段 MN 的垂直平分线 为 m ，求直线 m 在 y 轴上的截距的取值范围. 解：设过点 M ， N 的直线方程为 y ＝ kx ＋1（ k ≠0）， 代入 － y2＝1，可得（1－3 k2） x2－6 kx －6＝0， 设 M （ x1， y1）， N （ x2， y2），则 x1＋ x2＝ ... ...
