第五章 4.1　二项式定理的推导（课件 学案 练习）高中数学 北师大版（2019）选择性必修 第一册

4.1　二项式定理的推导 1.设S＝（x－1）3＋3（x－1）2＋3（x－1）＋1，则S＝（　　） A.（x－1）3　　　　　　　 B.（x－2）3 C.x3 D.（x＋1）3 2.已知 的展开式的第4项等于5，则x＝（　　） A. B.－ C.7 D.－7 3.（x－y）10的展开式中x6y4的系数是（　　） A.－840 B.840 C.210 D.－210 4.使 （n∈N＋）的展开式中含有常数项的最小的n为（　　） A.4 B.5 C.6 D.7 5.（多选）若二项式展开式中的常数项为15，则实数m的值可能为（　　） A.1 B.－1 C.2 D.－2 6.（多选）二项式（x＋）n（n∈N＋）的展开式中至少有2项的系数为有理数，则n的可能取值为（　　） A.6 B.7 C.8 D.9 7.在的展开式中，第五项为　　　　. 8.若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为　　　　. 9.设二项式 （a＞0）的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B＝4A，则a的值是　　　　. 10.在二项式（x－）12的展开式中，求： （1）第4项； （2）常数项； （3）有理项. 11.把（i－x）10按二项式定理展开，展开式的第8项的系数是（　　） A.135 B.－135 C.－360i D.360i 12.设函数f（x）＝则当x＞0时，f[f（x）]表达式的展开式中常数项为（　　） A.－20 B.20 C.－15 D.15 13.（多选）对于二项式（n∈N＋），以下判断正确的有（　　） A.存在n∈N＋，展开式中有常数项 B.对任意n∈N＋，展开式中没有常数项 C.对任意n∈N＋，展开式中没有含x的项 D.存在n∈N＋，展开式中有含x的项 14.已知＋2＋22＋…＋2n＝729，则n＝　　　　，＋＋＝　　　　. 15.已知m，n∈N＋，f（x）＝（1＋x）m＋（1＋x）n的展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数. 16.求证：（）2＋（）2＋（）2＋…＋（）2＝. 4.1　二项式定理的推导 1.C　S＝[（x－1）＋1]3＝x3. 2.B　T4＝x4＝5，则x＝－. 3.B　在通项公式Tk＋1＝（－y）kx10－k中，令k＝4，得x6y4的系数为（－）4＝840. 4.B　Tr＋1＝（3x）n－r＝3n－r·，当Tr＋1是常数项时，n－r＝0，当r＝2，n＝5时成立. 5.AB　二项式展开式的二项式通项为Tk＋1＝x6－k·＝mk.令6－k＝0，得k＝4，常数项为m4＝15，则m4＝1，解得m＝±1.故选A、B. 6.ACD　（x＋）n的展开式的通项为Tk＋1＝（x）n－k（）k＝（）n－k·xn－k.结合选项，若n＝6或8，则当k＝0和6时，项的系数均为有理数；若n＝7，则只有当k＝3时，项的系数为有理数，不满足题意；若n＝9，则当k＝3和9时，项的系数均为有理数.故选A、C、D. 7.60　解析：二项式的展开式的通项公式为Tr＋1＝（2x）6－r＝26－r.令r＝4，则T4＋1＝22＝60. 8.56　解析：由题意知，＝，∴n＝8.∴Tr＋1＝·x8－r·＝·x8－2r，当8－2r＝－2时，r＝5，∴的系数为＝56. 9.2　解析：Tr＋1＝x6－r＝（－a）r，B＝（－a）4，A＝（－a）2.∵B＝4A，a＞0，∴a＝2. 10.解：二项展开式的第r＋1项是 Tr＋1＝x12－r（－）r ＝（－1）r. （1）令r＝3，则T4＝（－1）3＝－220x8. （2）令12－r＝0，则r＝9，从而常数项为（－1）9＝－220. （3）若求展开式中的有理项，则12－r为整数，即r＝0，3，6，9，12，故有理项分别为T1＝x12，T4＝－x8＝－220x8，T7＝x4＝924x4，T10＝－＝－220，T13＝x－4. 11.D　由题意得第8项的系数为×（i）3×（－1）7＝120×3i＝360i.故选D. 12.A　依据分段函数的解析式得，当x＞0时，f[f（x）]＝f（－）＝（－）6.展开式的第k＋1项Tk＋1＝（）6－k·（－）k＝（－1）kxk－3，令k－3＝0，得k＝3，则常数项为（－1）3＝－20. 13.AD　设二项式（n∈N＋）展开式的通项为Tk＋1，则Tk＋1＝（x3）k＝x4k－n，不妨令n＝4，则当k＝1时，展开式中有常数项，故A正确，B错误；令n＝3，则当k＝1时，展开式中有含x的项，故C错误，D正确. 14.6　32　解析：＋2＋22＋… ... ...