4.3.1 等比数列的概念 第4章 1.通过实例，理解等比数列的概念. 2.能根据等比数列的定义判断一个数列是否为等比数列，并能进行简单的求值. 名称 等差数列 概念 通项公式 通项变形 从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数 an=a1+(n-1)d an=am+(n-m)d(n，m∈N*) 问题1：以下情境中的数列请同学们结合递推公式找出共同规律. 情境1：如图所示，有些细胞在分裂时，会中1个变成2个，2个变成4个，4个变成8个……，这里细胞的个数构成数列 1，2，4，8，16，32，… ① 分析：用{an}表示数列①，有a2a1 = 2，a3a2= 2，···， an+1an= 2. ? 情境2：《庄子》中说“一尺之棰，日取其半，万事不竭.” 其意思是:一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完，如果记木棒的长度为1，则不断取一半的过程中，每日之后木棒的长度构成数列 12，14，18，… ② ? 分析：用{bn}表示数列②，有b2b1 = 12，b3b2= 12，···， bn+1bn= 12. ? 问题1：以下情境中的数列请同学们结合递推公式找出共同规律. 情境3： 我们都知道，如果将钱存在银行里，那么将会获得利息，例如如果某年年初将1000元钱存为年利率为3%的5年定期存款，且银行每年年底结算一次利息，则这5年中,每年年底的本息和构成数列 1000×1.03，1000× 1.032，…，1000×1.035. ③ ? 分析：用{cn}表示数列③，有c2c1 =1.03，c3c2=1.03，···， cn+1cn=1.03. ? 问题1：以下情境中的数列请同学们结合递推公式找出共同规律. 1，2，4，8，16，32，… ① 12，14，18，… ② 1000×1.03，1000× 1.032，…，1000×1.035. ③ ? 不难看出，上述数列①②③的共同特点是 ：从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数. an+1an= 2 ? bn+1bn= 12 ? cn+1cn=1.03 ? 问题1：以下情境中的数列请同学们结合递推公式找出共同规律. 1.等比数列的概念 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q表示. 在等比数列{an}中，始终有????????＋1????????=????. ? 例如：数列① 1，2，4，8，16，32，…的公比就是2. (1)等比数列定义中要注意作比的顺序，即从第2项起，每一项一定是与它的前一项作比； (2)等比数列定义中“同一个常数”的“同一个”非常重要，若不是同一个常数，则不是等比数列； (3)公比????可正，可负，但不能为0，它是一个与????无关的非零常数； (4)等比数列中的各项均不能为0； ? 提醒 例1 判断下列数列是否为等比数列： (1)1，1，1，1，1； (2)0，1，2，4，8； (3)1，?12，14，?18，116. ? 解：(1)所给数列是首项为1，公比为1的等比数列. (2)∵0不能作为除数，∴这个数列不是等比数列. (3)∵116?18=?1814=14?12=?121=?12， ∴所给数列是首项为1，公比为?12的等比数列. ? 例2 求出下列等比数列中的未知项： (1)2，a，8； (2)-4，b，c，12. ? 解：(1)根据题意有????2=8????，∴a＝4或a＝－4. (2)根据题意有?????4=????????12????=????????，解得????=2????=?1. ? 归纳总结 2.等比中项：如果在a与b之间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列， 那么根据等比数列的定义， G2＝ab，G＝ ，我们称G为a， b的等比中项. 注意：(1)若G2＝ab，则a，G，b不一定成等比数列. (2)只有同号的两个实数才有等比中项. (3)若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数. 例3 (1)在等比数列{an}中，是否有an2＝an-1an+1(n≥2)？ (2)如果在数列{an}中，对于任意的正整数n(n≥2)，都有an2＝an-1an+1，那么 数列{an}一定是等比数列吗？ 解：(1)∵{an}是等比数列，∴????????+1????????=?????????????????1，即an2＝an-1an+1(n≥2). (2)不一定， 例如，对于数列0，0，0，…，总有an2＝an-1an+1， ... ...
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