(课件网) 第5章 三角函数 5.3.1 课时2 正弦函数、余弦函数的性质 1. 理解函数周期性的概念； 2. 通过观察 y = sin x，y = cos x 的图象，归纳出它们的性质，并利用性质解决相关问题. 问题1：仔细观察正弦函数的图象，说说图象有什么特点？ ① 在正弦函数图象上，横坐标每隔 2π 个单位长度，就会出现纵坐标相同的点； ② 每 2π 个单位长度的正弦函数图象的形状完全一致； 思考：上述图象的变化规律为什么是 2π 个单位长度就重复出现一次？ 这个单位长度可以是其他的值吗？ 从诱导公式 sin( x + 2kπ ) = sin x（k∈Z）中可以得出：自变量 x 的值每增加 2π 整数倍时所对应的函数值，与 x 所对应的函数值相等； 一般，数学上用【周期性】来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律； 对于函数 f (x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f ( x + T ) = f (x) 那么函数 f (x) 就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期. 周期函数的周期不止一个； 如：2π，4π，…，以及 – 2π，– 6π，…，都是正弦函数的周期； 事实上 ，且 ≠ 0，常数 2kπ 都是它的周期. 问题2：结合正弦函数的图象，说说周期函数的周期可以有很多个吗？ 如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 的最小正周期. 周期函数 总结归纳 根据上述定义： 正弦函数是周期函数，（k∈Z 且 k ≠ 0）都是它的周期，最小正周期是 2π； 余弦函数是周期函数，（k∈Z 且 k ≠ 0）都是它的周期，最小正周期是 2π. 周期函数 f ( x +T ) = f (x) 周期 所有周期中存在的最小正数，即是 的最小正周期. 问题3：仔细观察下列图象，说说正、余弦函数的值域以及最大、最小值是多少？当 x 分别取什么值的时候，函数才能取到最值？ 正弦函数的图象 余弦函数的图象 正弦函数、余弦函数的值域都是 [-1，1]，最大值都是1，最小值都是-1. 正、余弦函数的最大、最小值 总结归纳 正弦函数：当且仅当 x = + 2kπ (k∈Z) 时取得最大值 1； 当且仅当 x = – + 2kπ (k∈Z) 时取得最小值 – 1； 余弦函数：当且仅当 x = 2kπ (k∈Z) 时取得最大值 1； 当且仅当 x = 2kπ + π (k∈Z) 时取得最小值 – 1； 问题4：仔细观察正弦、余弦函数的图象，说说它们分别关于什么对称？ 正弦函数的图象 余弦函数的图象 正弦曲线关于原点 O 对称，所以正弦函数是奇函数； 余弦曲线关于 y 轴对称，所以余弦函数是偶函数. 注意：判断函数的奇偶性时，要先判断函数的定义域是否关于原点对称； 若定义域不关于原点对称，那么这个函数肯定不具备奇偶性. 问题5：结合诱导公式，说说如何证明正弦、余弦函数的奇偶性？ 正弦函数的图象 余弦函数的图象 定义域对称的情况下：令正弦函数 y = f (x) = sin x，余弦函数 h (x) = cos x； 由诱导公式得：sin (– x) = – sin x，即 f (– x) = – f (x)，故正弦函数为奇函数； 同理：cos (– x) = cos x，即 h (– x) = h (x)，故余弦函数为偶函数； 问题6：仔细观察正弦函数的图象，试着判断函数的单调性？ 正弦函数是周期函数，与以前所学函数的单调性有较大差异； 故应先在正弦函数的一个周期区间里讨论它的单调性，再利用周期性，将单调性扩展到整个定义域. 例 1：如图，判断正弦函数在区间[ ， ]上的单调性，并完成表格填空. 单调性：当 x 由– 增大到时，曲线逐渐上升，sin x 的值由 – 1增大到1； 当 x 由增大到时，曲线逐渐下降， sin x 的值由1减小到1； x ↗ 0 ↗ ↗ π ↗ sin x – 1 ↗ 0 ↗ 1 ↘ 0 ↘ – 1 即：正弦函数 y = sin x 在[ ]上单调递增，在[ ]上单调递减. 问题7：结合上述结论，再次观察正弦函数 y = sin x，x∈R ... ...
