1.2 空间向量基本定理 学习 目标 1. 理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解． 2. 会选择适当的基底表示任意向量，能利用空间向量基本定理解决一些简单的问题． 新知初探基础落实 一、 概念表述 1. 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 2. 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1) 空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示．( × ) (2) 如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线．( √ ) (3) 若{a，b，c}为空间的一个基底，则{－a，b，2c}也可构成空间的一个基底．( √ ) (4) 若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全都不是零向量．( √ ) (5) 若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面．( √ ) 典例精讲能力初成 探究1 空间向量基本定理 例1 若{a，b，c}是空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的一个基底的是( A ) A. a＋b，b＋c，c＋a B. a－b，b－c，c－a C. a＋b，c，a＋b＋c D. a－b＋c，a＋b－c，3a－b＋c 【解析】 对于A，令c＋a＝λ(a＋b)＋μ(b＋c)，则λ，μ无解，故A正确；对于B，因为c－a＝－(a－b)－(b－c)，所以a－b，b－c，c－a不能构成空间的一个基底；对于C，因为a＋b＋c＝(a＋b)＋c，所以a＋b，c，a＋b＋c不能构成空间的一个基底；对于D，因为3a－b＋c＝2(a－b＋c)＋(a＋b－c)，所以a－b＋c，a＋b－c，3a－b＋c不能构成空间的一个基底． (1) 判断三个向量能否构成基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法并结合共面向量定理或者利用常见的几何图形进行判断． (2) 求一向量在不同基底下的表示式，一般用待定系数法，即设出该向量在新基底下的表示式，转化为在原基底下的表示式，对比系数． 变式1 (1) 已知a，b，c是不共面的三个向量，下列向量能构成空间的一个基底的是( C ) A. 2a，a－b，a＋2b B. 2b，b＋a，b＋2a C. a，2b，b－c D. c，a＋c，a－c 【解析】 对于A，因为a＋2b＝×(2a)＋(－2)×(a－b)，则这三个向量共面，所以不能构成空间的一个基底；对于B，因为b＋2a＝×(2b)＋2×(b＋a)，则这三个向量共面，所以不能构成空间的一个基底；对于C，假设a，2b，b－c共面，则必存在x，y，使得b－c＝xa＋2yb，因为a，b，c不共面，则显然不成立，则这三个向量不共面，能构成空间的一个基底；对于D，因为a＋c＝2c＋(a－c)，则这三个向量共面，所以不能构成空间的一个基底． (2) 若{i，j，k}是一个单位正交基底，且向量a＝8i＋3k，b＝－i＋5j－4k，则a·b＝－20． 【解析】 由{i，j，k}是一个单位正交基底，则i·j＝0，k·j＝0，k·i＝0，|i|＝|k|＝|j|＝1，所以a·b＝(8i＋3k)·(－i＋5j－4k)＝－8i2＋40i·j－32i·k－3i·k＋15k·j－12k2＝－8－12＝－20. 探究2 用空间基底表示向量 例2 (教材P12例1补充)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，用＝a，＝b，＝c作为基底． (例2) (1) 求； 【解答】 ＝＋＝＋＋＝－a＋b＋c. (2) 若M，N分别为AD，CC1的中点，求. 【解答】 ＝＋＝＋＋＝＋＋＝a＋b＋c. (1) 定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2) 找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则或平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3) 下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间中所有向量．表示的结果中 ... ...
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