2.5　第1课时　直线与圆的位置关系（课件 讲义）高中数学 人教A版（2019）择性必修 第一册

2.5　直线与圆、圆与圆的位置关系 第1课时　直线与圆的位置关系 学习 目标 1．能通过比较圆心到直线的距离与半径之间的大小关系判断直线和圆的位置关系． 2．理解直线和圆的三种位置关系(相离、相切、相交)与相应的直线和圆的方程所组成的二元二次方程组的解(无解、有唯一解、有两组解)的对应关系． 新知初探基础落实 一、 概念表述 直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置 关系 判断方法 几何法：设圆心到直线的距离为d，则d＝ 代数法：联立直线方程与圆的方程 消元得到一元二次方程，并求得判别式Δ 相交 d＜r Δ＞0 相切 d＝r Δ＝0 相离 d＞r Δ＜0 二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1) 若直线与圆有公共点，则直线与圆相交．(　×　) (2) 直线l：x＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是相交，且l过圆心．(　√　) (3) 若直线x－y＋a＝0与圆x2＋y2＝a(a＞0)相切，则a＝4．(　×　) (4) 若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解．(　√　) 典例精讲能力初成 探究1　直线与圆的位置关系的判断 例1　(教材P91例1补充)已知直线的方程为mx－y－m－1＝0，圆的方程为x2＋y2－4x－2y＋1＝0．求当m为何值时，圆与直线： (1) 有两个公共点； (2) 只有一个公共点； (3) 没有公共点． 【解答】　方法一：将直线方程mx－y－m－1＝0代入圆的方程并化简整理得(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0，且Δ＝4m(3m＋4)． (1) 当Δ＞0，即m＞0或m＜－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点． (2) 当Δ＝0，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点． (3) 当Δ＜0，即－＜m＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 方法二：圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，所以圆心为C(2，1)，半径r＝2．圆心C(2，1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝＝． (1) 当d＜2，即m＞0或m＜－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点． (2) 当d＝2，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点． (3) 当d＞2，即－＜m＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 直线与圆的位置关系的判断方法 (1) 几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． (2) 代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断． (3) 直线系法：若直线恒过定点，可以通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但此方法有一定的局限性，题目所给的必须是过定点的直线系． 探究2　直线与圆相交、弦长公式 例2　(教材P91例1补充)已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0． (1) 求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点； 【解答】　直线l的方程mx－y＋1－m＝0可转化为m(x－1)－y＋1＝0，所以l过定点(1，1)．因为12＋(1－1)2＝1＜5，所以点(1，1)在圆内，故直线l与圆C总有两个不同的交点． (2) 设直线l与圆C交于A，B两点，若|AB|＝，求l的倾斜角α． 【解答】　设圆心C到直线l的距离为d．因为|AB|＝，圆C的半径r＝，所以d2＝r2－2＝，从而d＝．又C(0，1)，d＝＝，所以m＝±，从而tan α＝±，于是α＝或α＝． 求直线与圆相交所得弦长的两种方法： 几何法：如图(1)，直线l与圆C交于A，B两点，则弦长为|AB|．设弦心距为d，圆的半径为r，则＋d2＝r2，即|AB|＝2．直线与圆的弦长问题常用几何法求解． 图(1) 代数法：如图(2)，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两个交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝|x1－x2|＝|y1－y2|，其中k为直线l的斜率． 图(2) 注意：求弦长时，应注意斜率不存在的情形，有时还要注意斜率为0的情形． 变式2　若直线l：kx－y－2＝0与曲线C：＝x－1有两个不同的交 ... ...