3.1　第4课时　椭圆的简单几何性质（课件 讲义）高中数学 人教A版（2019）择性必修 第一册

第4课时　椭圆的简单几何性质(2) 学习 目标 1．了解直线与椭圆的三种位置关系，能联立方程组消元后利用判别式判断直线和椭圆的位置关系． 2．能够利用弦长公式解决椭圆中的弦长、面积问题． 新知初探基础落实 一、 概念表述 1．将直线的方程y＝kx＋b与椭圆的方程＋＝1(a＞b＞0)联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ． ①Δ＞0 直线和椭圆相交 直线和椭圆有两个交点(或两个公共点)； ②Δ＝0 直线和椭圆相切 直线和椭圆有一个公共点； ③Δ＜0 直线和椭圆相离 直线和椭圆无公共点． 2．设直线y＝kx＋n与椭圆＋＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长 |AB|＝ ＝|x1－x2|． 二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1) 若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最长．(　√　) (2) 已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)与点P(b，0)，过点P可作出该椭圆的一条切线．(　×　) (3) 直线y＝k(x－a)(k≠0)与椭圆＋＝1(a＞0，b＞0)相交．(　√　) (4) 直线与椭圆的位置关系能用中心到直线的距离来判断．(　×　) 典例精讲能力初成 探究1　直线与椭圆位置关系的判断 例1　(教材P114例7补充)已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1．试求当m取何值时，直线l与椭圆C： (1) 有两个公共点； 【解答】　由消去y，得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，方程的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144．当Δ＞0，即－3＜m＜3时，方程有两个不相等的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解，这时直线l与椭圆C有两个公共点． (2) 有且只有一个公共点； 【解答】　当Δ＝0，即m＝±3时，方程有两个相等的实数根，可知原方程组有一组实数解，这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点． (3) 没有公共点． 【解答】　当Δ＜0，即m＜－3或m＞3时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解，这时直线l与椭圆C没有公共点． 探究2　直线和椭圆的相交弦问题 例2　已知椭圆C：x2＋4y2＝16． (1) 求椭圆C的焦点坐标和离心率； 【解答】　由x2＋4y2＝16，得＋＝1，所以a＝4，b＝2，从而c＝2，故椭圆C的焦点坐标是(2，0)和(－2，0)，离心率e＝． (2) 设直线l：x＋2y－4＝0与椭圆C交于A，B两点，求弦长|AB|． 【解答】　由消去y，得x2－4x＝0，解得或所以点A，B的坐标分别为(0，2)和(4，0)，弦长|AB|＝＝2． 求直线与椭圆相交的弦长的两种方法： (1) 求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长． (2) 联立直线与椭圆的方程，消元得到关于x或y的一元二次方程，利用弦长公式|P1P2|＝·，其中x1，x2(或y1，y2)是上述一元二次方程的两根，结合根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入弦长公式即可求得弦长． 探究3　中点弦问题 例3　已知椭圆C：x2＋4y2＝16和点M(2，1)，求通过点M且被该点平分的弦所在直线的方程． 【解答】　中点弦所在的直线显然不与x轴垂直，设所求直线的方程为y－1＝k(x－2)，设直线与椭圆C的交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则所以(x1－x2)·(x1＋x2)＋4(y1－y2)(y1＋y2)＝0．又＝k，x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，所以k＝－，故所求直线的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0． 椭圆中点弦问题的解决方法： (1) 方程组法：将直线方程与椭圆方程联立成方程组，利用一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式求解． (2) 点差法：设直线与椭圆＋＝1(a＞b＞0)的交点(弦的端点)为A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2，x1＋x2≠0，线段AB的中点为M(x0，y0)．将A，B两点的坐标分别代入椭圆的方程，得两式相减得·＝－，即kAB·＝－．这样就建立了中点坐标与直线斜率之间的关系，从而可以使问题得以解决． 探究4　椭圆中的最值(或范围)问题 例4　(1) 椭圆＋＝1上的点到直线x＋2y－＝0的最大距离是(　D ... ...