3.1　第5课时　椭圆的简单几何性质（课件 讲义）高中数学 人教A版（2019）择性必修 第一册

第5课时　椭圆的简单几何性质(3) 学习 目标 1．进一步掌握椭圆的方程及其几何性质，如椭圆的第二定义、第三定义，焦半径和通径的有关知识． 2．能使用椭圆中的一些常见结论解决相对复杂的问题． 典例精讲能力初成 探究1　椭圆的第二定义 例1　已知点P到定点F(－1，0)的距离与到定直线l：x＝－4的距离之比为． (1) 求点P的轨迹方程； 【解答】　设点P(x，y)，依题意有＝，两边平方，整理得＋＝1．所以动点P的轨迹方程为＋＝1． (2) 若∠PFO＝120°，求△PFO的面积． 【解答】　由椭圆的对称性，不妨设点P在第三象限，因为点F的坐标为(－1，0)，∠PFO＝120°，所以kPF＝，直线PF的方程为y＝(x＋1)，将其代入椭圆方程可得＋＝1，即5x2＋8x＝0，解得x＝0(舍去)或x＝－，此时y＝－，故△PFO的面积为×1×＝． 变式1　已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最小值为． 【解析】　因为椭圆的标准方程为＋＝1，所以a2＝9，c2＝9－5＝4，所以离心率e＝＝，从而|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF|．如图，过点A作左准线的垂线，垂足为B，根据椭圆的第二定义得|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PQ|≥|AB|(当且仅当点P在点P′的位置时取等号)．因为|AB|＝1＋＝，所以|PA|＋|PF|的最小值为． (变式1答) 探究2　椭圆的第三定义 例2　已知点A(0，3)，点M与N关于原点对称，直线AM，AN的斜率之积是－，记动点M的轨迹为Γ． (1) 求Γ的方程； 【解答】　设M(x，y)，N(－x，－y)，则直线AM，AN的斜率分别为k1＝，k2＝＝，且x≠0，依题意有k1·k2＝·＝－，化简得＋＝1，所以Γ的方程为＋＝1(x≠0)． (2) 若直线l与y轴垂直，并与Γ交于P，Q两点，且AP⊥AQ，求△APQ的面积． (例2答) 【解答】　因为l与y轴垂直，所以点P，Q关于y轴对称．因为A(0，3)，所以|AP|＝|AQ|．不妨设点P在Q的左侧，由AP⊥AQ，得直线AP的倾斜角为45°，所以直线AP的方程为y＝x＋3．将其与Γ的方程＋＝1(x≠0)联立，消去y化简得x2＋4x＝0，解得x＝－4(x＝0舍去)，所以P(－4，－1)，从而|AP|＝＝4，于是|AQ|＝|AP|＝4，故△APQ的面积为|AP|·|AQ|＝16． 已知平面内两定点A1(－a，0)，A2(a，0)(a＞0)，直线A1M，A2M相交于点M，且它们的斜率之积为定值－(0＜b＜a)，则点M的轨迹为椭圆＋＝1(a＞b＞0)(除去A1，A2两点)． 探究3　椭圆的焦半径及通径长 例3　已知椭圆C：＋＝1的右焦点为F，A，B为椭圆的左、右顶点，设Q是直线x＝9上的动点，直线AQ，BQ分别交椭圆于M，N两点，求|MF|＋|NF|的最小值． 【解答】　由题意A(－3，0)，B(3，0)，设Q(9，t)，则直线AQ的方程为y＝(x＋3)，联立得(128＋t2)x2＋6t2x＋9t2－1 152＝0．设点M的横坐标为xM，点N的横坐标为xN．由根与系数的关系可得－3xM＝，则xM＝．同理可得xN＝．因为x＝9为椭圆的右准线，所以由椭圆的第二定义可得|MF|＋|NF|＝(9－xM)＋(9－xN)＝(18－xM－xN)＝＝6－＝6－≥6－＝6－＝，当且仅当t4＝4 096，即t＝±8时取等号，故|MF|＋|NF|的最小值为． (1) 把椭圆上一点与焦点的连线段称为焦半径．设点P(x0，y0)为椭圆＋＝1(a＞b＞0)上任意一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，则|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0(其中e为椭圆的离心率)． (2) 过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的焦点且垂直于长轴的弦叫做椭圆的通径，通径长为． 变式3　已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1作垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，若直线AF2与直线BF2互相垂直，则椭圆C的离心率e＝－1． 【解析】　如图，因为直线AF2与直线BF2互相垂直，所以△ABF2为直角三角形．由椭圆的对称性得△ABF2为等腰直角三角形，易知|AF1|＝|F1F2|，即＝2c，所以＝2c，即c2＋2ac－a2＝0，即e2＋2e－1＝0，解得e＝－1或e＝－－1(舍去)． ( ... ...