第三章 微专题5　抛物线的弦的问题（课件 讲义）高中数学 人教A版（2019）择性必修 第一册

微专题5　抛物线的弦的问题 典例剖析素养初现 拓展1　焦点弦 如图，AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的一条弦．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线的准线为l，则 (1) x1x2＝，y1y2＝－p2． (2) 弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝，其中α为弦AB所在直线的倾斜角；当α＝90°时，线段AB叫做抛物线的通径，是所有焦点弦中最短的． (3)＋＝，|AF|＝x1＋＝，|BF|＝x2＋＝． (4) 以AB为直径的圆必与准线l相切． (5) 以AF或BF为直径的圆与y轴相切． (6) S△AOB＝(α为弦AB所在直线的倾斜角)． (7) ∠A′FB′＝90°． (8) 若＝λ，则|cos α|＝(α为弦AB所在直线的倾斜角)． 例1－1　过抛物线C：y2＝4x的焦点F作倾斜角为60°的直线l交抛物线C于A，B两点，求弦AB的长． 【解答】　方法一：由题意知F(1，0)，直线l的方程为y＝(x－1)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由消去y得3x2－10x＋3＝0，所以x1＋x2＝．由弦长公式得|AB|＝x1＋x2＋2＝＋2＝． 方法二：由抛物线的弦长公式得|AB|＝＝＝＝，其中α为直线AB的倾斜角． 例1－2　已知抛物线C：x2＝4y，O为坐标原点，直线l：y＝x＋1交抛物线C于A，B两点，求△AOB的面积． 【解答】　联立，得x2－4x－4＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4，x1x2＝－4． 方法一：所以|AB|＝|x1－x2|＝×＝8．又原点O到直线y＝x＋1的距离d＝＝，所以△AOB的面积S＝×|AB|×d＝×8×＝2． 方法二：由于直线l：y＝x＋1经过抛物线的焦点(0，1)，因此利用抛物线的定义得|AB|＝y1＋y2＋2＝＋2＝＋2＝6＋2＝8．下同方法一． 方法三：(割补法)S△AOB＝S△AOF＋S△FOB＝|OF|·|x1－x2|＝×4＝2，其中F为焦点． 例1－3　过抛物线y2＝4x的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且|AF|＝2|BF|，则点A到y轴的距离为2． 【解析】　过点A作AD垂直于准线l于点D，过点B作BE垂直于l于点E，设直线AB交l于点C，则△BCE∽△ACD，所以＝＝＝．记|BC|＝x，则|AC|＝2x．因为|AF|＝2|BF|，所以|BF|＝|AB|＝x，|AF|＝2|BF|＝x，从而sin ∠ACD＝＝＝＝，于是|GF|＝|CF|sin ∠ACD＝|CF|．又|GF|＝2，所以|CF|＝6．而|CF|＝|BC|＋|BF|＝x，所以x＝，从而|AF|＝3，故点A到y轴的距离为3－＝2． (例1－3答) 拓展2　阿基米德三角形 如图，AB为抛物线x2＝2py(p＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别过点A，B作抛物线的切线，且两切线交于点P，称△PAB为阿基米德三角形，不妨假设弦AB为阿基米德三角形的底边． (1) 若阿基米德三角形的底边，即弦AB过抛物线内的定点C(x0，y0)，则顶点P的轨迹为一条直线． (2) 若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点． (3) 若阿基米德三角形的底边，即弦AB过焦点，则顶点P的轨迹为抛物线的准线，且阿基米德三角形的面积的最小值为p2． (4) 若弦AB过抛物线的焦点F，则PA⊥PB，PF⊥AB． 例2－1　设M是抛物线y2＝4x准线上一点，过点M作抛物线的切线，切点分别为A，B，则直线AB所过的定点的坐标为(1，0)． 【解析】　设M(－1，y0)，过点M所作的抛物线的切线的斜率为k(k≠0)，直线AM的斜率为k1，直线BM的斜率为k2，则过点M的切线的方程为y－y0＝k(x＋1)．由得ky2－4y＋4y0＋4k＝0 ①，则Δ＝16－4k(4y0＋4k)＝0，得k2＋ky0＝1，所以k1k2＝－1，k1＋k2＝－y0．由①得k2y2－4ky＋4ky0＋4k2＝0，即k2y2－4ky＋4＝(ky－2)2＝0，所以A，B，从而kAB＝＝＝，于是直线AB的方程为y－＝，整理得y＝x＋－＝x＋＝x＋＝(x－1)，即y＝(x－1)，故直线AB过定点(1，0)． 例2－2　已知抛物线E：x2＝y，过点T(1，2)的直线与抛物线E交于A，B两点，设抛物线E在点A，B处的切线分别为l1和l2，设l1与l2的交点为P，证明：点P在定直线上． 【解答】　设抛物线在点A处的切线的斜率为m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．易知l1的方程为y－x ... ...