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课件网) 4.2.2 指数函数的图象和性质 学习目标 1.从解析式出发探索指数函数的性质，再用信息技术画出指数函数图象，辅助对函数性质的验证 2.能作出具体指数函数图象，并结合图象理解掌握指数函数性质. 3.掌握指数函数的性质的简单应用 复习回顾 整体为幂 常数在底 系数为1 当底数时，指数函数值随自变量的增长而增大，底数较大时指数函数值增长速度惊人，被称为指数爆炸. 当底数时，指数函数值随自变量的增长而缩小以致无限接近于0，叫作指数衰减. 上节课我们学习了指数函数，今天学习指数函数的图象和性质. 导入新课 2.你能画出指数函数 和 的图象吗？ 探究 1.指数函数中，那取不同的范围时，函数图象的形式会不会不同呢？ 新课学习 下表是指数函数和 在自变量分别取-100,-10,-5, 0,5,10,100时所对应的函数值. 观察上表，你有什么发现？ 新课学习 发现 1. 和 的函数值总是大于0； 2.的函数值随着自变量的增大而增大 ； 3. 的函数值随着自变量的增大而减小； 4. 和 的图象都过(0,1)点. 这些发现能看作指数 函数的性质吗？ 新课学习 任意指数函数的图象都经过点(0,1) 任意指数函数的图象都在轴上方 对任意实数； 对任意实数 当时，指数函数 当时，指数函数 新课学习 当时，令，则恒成立．这表明，只要足够大，可以大于任意给定的正数，而则可以小于任意给定的正数． 综上可得，指数函数的值域为(0，+∞). 我们还可以证明： 例题解析 例1 作出指数函数和的图象. 解：通过列表、描点连线，得 注意：不论手工绘制还是借助现代技术绘制，作出来的图象都是有限的，从图象得出来的结论需要发挥想象力. 可以看出()具有以下性质: (3)函数是区间(-∞,+∞)上的增函数. (1)图象总在轴上方，且图象与轴永不相交，值域是(0,+∞)； (2)图象恒过点(0,1)，用式子表示就是=1； 新课学习 思考 函数 和之间有什么关系？图象之间有什么联系？ 当它们的自变量取互为相反数的两个值时，对应的函数值相等．也就是说，如果点(，)在的图象上，那么这个点关于轴的对称点（，）一定在的图象上；反之，的图象上任意一点（，），其关于轴的对称点，)也一定在的图象上． 因此，指数函数和的图象关于轴对称. 新课学习 () ) 底数互为倒数的两个指数函数的图象关于轴对称. 令 = ,则0. 于是)的图象即为(0)的图象. 新课学习 表达式 图象 定义域 _____ 值域 _____ 性质 函数的图象过点_____，即 是R上的_____ 是R上的_____ （-，+） (0，+∞) (0，1) 递减 递增 指数函数的图象及性质： 例题解析 例2 比较下列各组中两个数的大小： (1) (2) (3) 解：（1）可看作函数的两个函数值， 由于底数，所以指数函数在上是增函数， 因为，所以. （2）可看作函数的两个函数值， 由于底数，所以指数函数在上是减函数， 因为，所以 同底 同底 不同底 例题解析 （3）因为在上是减函数，所以. 由 得 所以. 怎样比较指数式的大小？ 比较两个数的大小，既可以作差，也可以用作商的方法. (3) 方法提炼 比较指数式大小的类型及处理方法 底数相同， 指数不同 底数不同， 指数相同 底数不同， 指数不同 利用指数函数的单调性来判断 利用底数不同的指数函数的图象的变化规律来判断 通过中间变量来比较 例3 已知指数函数的图象经过点(2,7)，求和. 例题解析 解 ：因为的图象经过点(2,7), 所以 =7，解得=，于是. 所以 =， . 例题解析 例4 一种放射性物质不断衰变为其他物质，每经过1年剩余的量是原来的84%，画出这种物质的剩余量随时间变化的图象，并从图象上观察大约要经过多少年，剩余量是原来的50%. 解：可设原来的量是1个单位，经过年后，剩余量是个单位. 可得函数解析式为．列表如下： 在直角坐标系中画出的图象，如图所示： ... ...
