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课件网) 4.2.1 指数爆炸和指数衰减 学习目标 1.了解指数函数的定义. 2.通过实例理解指数爆炸和指数衰减. 导入新课 一张神奇的纸 大家都知道珠穆朗玛峰是世界最高峰，海拔 8848.86 米。那如果有一张足够大且厚度为 0.1 毫米的纸，你们猜猜把它连续对折 30 次后，厚度会是多少？ 折纸视频 对折 30 次，厚度能超过珠穆朗玛峰，对折 42 次，厚度就能抵达月球，地月平均距离约 38 万千米；对折 64 次，厚度将达到地球到太阳的距离，日地平均距离约 14960 万千米。 在幂的表达式中，如果让底数为常数而取指数为自变量x，则得到一类新的函数()，这叫做指数函数，其中（）. 新课学习 如 新课学习 整体为幂 常数在底 系数为1 (3)指数式只有一项，并且指数式的系数为1. (1)定义域必须是实数集； (2)自变量是，位于指数位置上，且指数位置上只有这一项； (4)底数的范围必须是 新课学习 (1)当底数时，指数函数值随自变量的增长而增大，底数较大时指数函数值增长速度惊人，被称为指数爆炸. (2)当底数时，指数函数值随自变量的增长而缩小以致无限接近于0，叫作指数衰减. 新课学习 把自变量看成时间，在长为的时间周期中，指数函数的值从增长到增长率为，它是一个常量.在经济学或者其他学科中，当某个量在一个既定的时间周期中，其增长百分比是一个常量时，这个量就被描述为指数式增长，也称指数增长. 核裂变、细胞分裂、生物繁殖、疾病传染、火药爆炸等都可以用指数增长来描述。 铀核裂变释放巨大能量的同时，还放出两三个中子来。如图所示，若一个中子打碎一个铀核，产生能量，放出两个中子来；这两个中子又打中另外两个铀核，产生两倍的能量，再放出四个中子来……以此类推. 于是核裂变会释放大量的能量. 新课学习 反过来，当底数满足时，指数函数值随着自变量的增长而缩小以至无限接近于0，叫作指数衰减. 新课学习 指数特点是：在一个既定的时间周期中，其缩小百分比是一个常量. 指数衰减的一个有趣应用,是考古学家用自然界中的14C来测定化石年代. 新课学习 14C是具有放射性的碳同位素，能够自发地进行衰变，变成氮，半衰期为5730年。如下图所示： 活的植物通过光合作用和呼吸作用与环境交换碳元素，体内14C的比例与大气中的相同，植物枯死后，体内的14C仍在进行衰变，不断减少，但是不再得到补充. 当植物枯死后，遗体内的14C的含量可以用指数函数 表示植物枯死后经过的时间，以年为单位；底数是小于1的正数。于是半衰期为5730年，用数学语言描述是：当自变量增加5730，的函数值减少一半，即，化简后得到，经过计算器可得.利用这些数据，可以估计植物枯死后经过的时间. 新课学习 例题解析 例1 某公司为大力提升创新水平，计划逐年加大研发资金投入.若该公司当年投入的研发资金为3500万元，预计下一年（将为计划执行的第一年）投入的研发资金为4200万元；如果假定增速不变，该公司第年投入的研发资金用函数()=来近似地表示，写出此函数的解析式，并以此估计计划执行的第8年该公司投入研发资金为多少万元（结果精确到1万元）. 解：假设条件和数据，有(0)==3500,()==4200. 解得=3500. 例题解析 于是 == . 因此，该函数解析式为()=. 以此估计出该公司第8年投人的研发资金为 )= =3500 15049(万元) 例题解析 例2 医学中常用的钴60射线，穿过厚度为1 的铅板后，强度变为原来的0.568倍，穿过厚度为的铅板后的强度与原来的强度之比为.若铅板厚度为，射线穿过铅板后的强度与原来的强度之比是多少？ 解：由= = 故射线穿过厚度为12cm的铅板后的强度与原来的强度之比是 H(12）= 即约为原来的千分之一. 课堂练习 1.判断正误： （1）是指数函数. ( ) （2）指数函数中，可以为负数. ( ) （3）是 ... ...
