【精品解析】《等腰三角形》精选压轴题—2025年浙江省八（上）数学期中复习

《等腰三角形》精选压轴题—2025年浙江省八（上）数学期中复习 一、单选题 1．（2024八上·东阳期中）如图，等边的边长为，过点的直线，且与关于直线对称，为线段上一动点，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题 【解析】【解答】解：如图，连接，与交于点， 是等边三角形，且与关于直线对称， 也是等边三角形， ，， ， ， ，， 点与点关于对称， 即：点与点关于对称， 当点与点重合时，的值最小， 此时， 故选：． 【分析】 本题是利用轴对称变换将光线反射最短路径问题转化为两点之间线段最短问题，利用作对称点找到使的值最小的点是解题的关键．接着利用等边三角形的性质推导计算即可。 2．（2024八上·拱墅期中）如图，在中，，，D为的中点，P为上一点，E为延长线上一点，且．有下列结论：①；②；③为等边三角形；④．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；轴对称的性质 【解析】【解答】解：①∵，， ∴，故①正确； ②如图，连接并延长交于点， ∵为中点，， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，故②正确； ③由②得， ∵， ∴为等边三角形，故③正确； ④如图，作点关于的对称点，连接， 由③得为等边三角形， ∴，， ∴， ∵关于的对称点是， ∴，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论有4个， 故答案为：D． 【分析】①根据等腰三角形“等边对等角”性质得；②连接并延长交于点，根据等腰三角形“三线合一”以及线段垂直平分线的性质得，，由等腰三角形“等边对等角”性质求出，，于是得；③利用三角形外角的性质求出，根据等边三角形的判定即可得为等边三角形；④作点关于的对称点，连接，根据等边三角形的性质得，，从而得，然后由轴对称的性质得，，，进而得，，证明，得，则. 3．（2024八上·杭州期中）如图，和都是等边三角形，下列结论：①；②平分；③；④；其中正确的有（　　）个 A．2 B．3 C．4 D．1 【答案】C 【知识点】等边三角形的判定与性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS 【解析】【解答】解：如图设AC交BE于点O． ∵△ABD，△ACE都是等边三角形， ∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°， ∴∠DAB+∠BAC=∠BAC+ ∠ CAE，即∠DAC=∠BAE ∴△ADC≌△ABE（SAS）， ∴CD=BE，∠AEO=∠OCN，故①正确； 作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N， ∵△ADC≌△ABE， ∴AM=AN， ∵AM⊥CD于M，AN⊥BE于N， ∴AF平分∠DFE，故②正确； ∵∠AOE=∠COF， ∴∠OAE=∠OFC=60°， ∴∠BFC=120°，故③正确； 在DF上取一点K，使得FK=FA， ∵∠AFK=∠AFN=60°， ∴△AKF是等边三角形， 易证△DAK≌△BAF， ∴DK=BF， ∴DF=DK+KF=FA+FB，故④正确， 综上，正确的有①②③④，共4个. 故答案为：C． 【分析】由等边三角形性质得 AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°， 根据角的构成及等式性质推出∠DAC=∠BAE，从而利用“SAS”判断出△ADC≌△ABE，由全等三角形对应边相等、对应角相等可得 CD=BE，∠AEO=∠OCN， 从而可判断①；进而结合对顶角相等及三角形内角和定理推出∠OAE=∠OFC=60°，根据邻补角可判断③； 作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N， 根据全等三角形对应边上的高线相等可得AM=AN，然后根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，可判断②；在DF上取一点K，使得FK=FA，由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形可得△AKF是等边三角形，从而可用“SAS”证△DAK≌△BAF，由全等三角形的对应边相等得DK=BF，从而可判断④. 4．（2024八上·镇海区期中）如图，在中，于点，平分交于点，点 ... ...